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2017年8月10日木曜日

学習環境

解析入門〈2〉(松坂 和夫(著)、岩波書店)の第9章(関数列と関数級数)、9.1(一様収束)、問題2.を取り組んでみる。


  1. 和の一様収束について。

    問題の仮定より、任意の正の実数εに対してある自然数N1N2 が存在してEで次のことが成り立つ。

    m1,n1N1|fm(x)fn(x)|<ϵ2m2,n2N2|gm(x)gn(x)|<ϵ2

    よって、N=max{N1,N1} とすれば、m,nN のとき、次のことが成り立つ。

    |(fm(x)+gm(x))(fn(x)+gn(x))|=|(fm(x)fn(x))+(gm(x)gn(x))|=|(fm(x)fn(x))+(gm(x)gn(x))|=|fm(x)fn(x)|+|gm(x)gn(x)|<ϵ2+ϵ2=ϵ|(fm(x)+gm(x))(fn(x)+gn(x))|<ϵ

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