数学 - 解析学 - 関数列と関数級数 - 一様収束(和と一様収束) | Kamimura's blog

2017年8月10日木曜日

数学 - 解析学 - 関数列と関数級数 - 一様収束(和と一様収束)

解析入門〈2〉

学習環境

Surface 3 (4G LTE)、Surface 3 タイプカバー、Surface ペン(端末)
Windows 10 Pro (OS)
数式入力ソフト(TeX, MathML): MathType
MathML対応ブラウザ: Firefox、Safari
MathML非対応ブラウザ(Internet Explorer, Microsoft Edge, Google Chrome...)用JavaScript Library: MathJax
参考書籍

解析入門〈2〉(松坂和夫(著)、岩波書店)の第9章(関数列と関数級数)、9.1(一様収束)、問題2.を取り組んでみる。

和の一様収束について。

問題の仮定より、任意の正の実数εに対してある自然数 $N_{1}$ 、 $N_{2}$ が存在してEで次のことが成り立つ。
$\begin{array}{l} m_{1}, n_{1} \geq N_{1} \Rightarrow | f_{m} (x) - f_{n} (x) | < \frac{ϵ}{2} \\ m_{2}, n_{2} \geq N_{2} \Rightarrow | g_{m} (x) - g_{n} (x) | < \frac{ϵ}{2} \end{array}$
よって、 $N = \max {N_{1}, N_{1}}$ とすれば、 $m, n \geq N$ のとき、次のことが成り立つ。
$\begin{array}{l} | (f_{m} (x) + g_{m} (x)) - (f_{n} (x) + g_{n} (x)) | \\ = | (f_{m} (x) - f_{n} (x)) + (g_{m} (x) - g_{n} (x)) | \\ = | (f_{m} (x) - f_{n} (x)) + (g_{m} (x) - g_{n} (x)) | \\ = | f_{m} (x) - f_{n} (x) | + | g_{m} (x) - g_{n} (x) | \\ < \frac{ϵ}{2} + \frac{ϵ}{2} \\ = ϵ \\ | (f_{m} (x) + g_{m} (x)) - (f_{n} (x) + g_{n} (x)) | < ϵ \end{array}$

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