数学 - Python - 線形代数学 - 行列式 – 行列式の存在(行列式の計算、展開)

ラング線形代数学(上)
原著

学習環境

• Surface 3 (4G LTE)、Surface 3 タイプ カバー、Surface ペン(端末)
• Windows 10 Pro (OS)
• 数式入力ソフト(TeX, MathML): MathType
• MathML対応ブラウザ: Firefox、Safari
• MathML非対応ブラウザ(Internet Explorer, Google Chrome...)用JavaScript Library: MathJax
• 参考書籍
  • Pythonからはじめる数学入門
  • JavaScriptリファレンス 第6版
  • インタラクティブ・データビジュアライゼーション

ラング線形代数学(上)(S.ラング (著)、芹沢 正三 (翻訳)、ちくま学芸文庫)の6章(行列式)、3(行列式の存在)、練習問題1、2.を取り組んでみる。

1. 1. 
      $\begin{array}{l}2\left(3+1\right)+4\left(-1-6\right)\\ =8-28\\ =-20\end{array}$
   2. 
      $\begin{array}{l}3\left(6-4\right)+\left(-3-20\right)-2\left(-1-10\right)\\ =6-23+22\\ =5\end{array}$
   3. 
      $\begin{array}{l}2·3+\left(4-6\right)\\ =6-2\\ =4\end{array}$
   4. 
      $\begin{array}{l}7-2\\ =5\end{array}$
   5. 
      $\begin{array}{l}-4\left(40-21\right)\\ =-4·19\\ =-76\end{array}$
2. 1. 
      $\begin{array}{l}\left|\begin{array}{ccc}1& 1& 3\\ -1& 1& 0\\ 1& 2& 5\end{array}\right|+2\left|\begin{array}{ccc}1& -2& 4\\ 1& 1& 3\\ 1& 2& 5\end{array}\right|-3\left|\begin{array}{ccc}1& -2& 4\\ 1& 1& 3\\ -1& 1& 0\end{array}\right|\\ =3\left(-2-1\right)+5\left(1+1\right)+2\left|\begin{array}{ccc}1& -2& 4\\ 1& 1& 3\\ 2& 0& 9\end{array}\right|-3\left(4\left(1+1\right)-3\left(1-2\right)\right)\\ =-9+10+2\left(2\left(-6-4\right)+9\left(1+2\right)\right)-3\left(8+3\right)\\ =1+2·\left(-20+27\right)-33\\ =-32+14\\ =-18\end{array}$
   2. 
      $\begin{array}{l}-1\left|\begin{array}{ccc}3& 2& 1\\ 4& 1& 2\\ 1& 5& 7\end{array}\right|-3\left|\begin{array}{ccc}1& 2& 0\\ 3& 2& 1\\ 4& 1& 2\end{array}\right|\\ =-\left|\begin{array}{ccc}0& -13& -20\\ 4& 1& 2\\ 1& 5& 7\end{array}\right|-3\left(\left(4-1\right)-2\left(6-4\right)\right)\\ =-\left(-4\left(-13·7+20·5\right)+\left(-13·2+20·1\right)\right)-3\left(3-4\right)\\ =-\left(-4\left(-91+100\right)-26+20\right)+3\\ =-\left(-36-26+20\right)+3\\ =45\end{array}$
   3. 
      $0$
   4. 
      0

コード(Emacs)

Python 3

#!/usr/bin/env python3
# -*- coding: utf-8 -*-

from sympy import pprint, symbols, Matrix

print('1.')
ms = [Matrix([[2, 1, 2],
              [0, 3, -1],
              [4, 1, 1]]),
      Matrix([[3, -1, 5],
              [-1, 2, 1],
              [-2, 4, 3]]),
      Matrix([[2, 4, 3],
              [-1, 3, 0],
              [0, 2, 1]]),
      Matrix([[1, 2, -1],
              [0, 1, 1],
              [0, 2, 7]]),
      Matrix([[-1, 5, 3],
              [4, 0, 0],
              [2, 7, 8]])]

for i, m in enumerate(ms, 0):
    print(f'({chr(ord("a") + i)})')
    pprint(m)
    pprint(m.det())
    print()

print('2.')
ms = [Matrix([[1, 1, -2, 4],
              [0, 1, 1, 3],
              [2, -1, 1, 0],
              [3, 1, 2, 5]]),
      Matrix([[-1, 1, 2, 0],
              [0, 3, 2, 1],
              [0, 4, 1, 2],
              [3, 1, 5, 7]]),
      Matrix([[3, 1, 1],
              [2, 5, 5],
              [8, 7, 7]]),
      Matrix([[4, -9, 2],
              [4, -9, 2],
              [3, 1, 0]])]

for i, m in enumerate(ms, 0):
    print(f'({chr(ord("a") + i)})')
    pprint(m)
    pprint(m.det())
    print()

入出力結果(Terminal, IPython)

$ ./sample1.py
1.
(a)
⎡2  1  2 ⎤
⎢        ⎥
⎢0  3  -1⎥
⎢        ⎥
⎣4  1  1 ⎦
-20

(b)
⎡3   -1  5⎤
⎢         ⎥
⎢-1  2   1⎥
⎢         ⎥
⎣-2  4   3⎦
5

(c)
⎡2   4  3⎤
⎢        ⎥
⎢-1  3  0⎥
⎢        ⎥
⎣0   2  1⎦
4

(d)
⎡1  2  -1⎤
⎢        ⎥
⎢0  1  1 ⎥
⎢        ⎥
⎣0  2  7 ⎦
5

(e)
⎡-1  5  3⎤
⎢        ⎥
⎢4   0  0⎥
⎢        ⎥
⎣2   7  8⎦
-76

2.
(a)
⎡1  1   -2  4⎤
⎢            ⎥
⎢0  1   1   3⎥
⎢            ⎥
⎢2  -1  1   0⎥
⎢            ⎥
⎣3  1   2   5⎦
-18

(b)
⎡-1  1  2  0⎤
⎢           ⎥
⎢0   3  2  1⎥
⎢           ⎥
⎢0   4  1  2⎥
⎢           ⎥
⎣3   1  5  7⎦
45

(c)
⎡3  1  1⎤
⎢       ⎥
⎢2  5  5⎥
⎢       ⎥
⎣8  7  7⎦
0

(d)
⎡4  -9  2⎤
⎢        ⎥
⎢4  -9  2⎥
⎢        ⎥
⎣3  1   0⎦
0

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