数学 - Python - 線形代数学 - 線形写像と行列 – 線形写像に対応する行列(基底)

ラング線形代数学(上)
原著

学習環境

• Surface 3 (4G LTE)、Surface 3 タイプ カバー、Surface ペン(端末)
• Windows 10 Pro (OS)
• 数式入力ソフト(TeX, MathML): MathType
• MathML対応ブラウザ: Firefox、Safari
• MathML非対応ブラウザ(Internet Explorer, Google Chrome...)用JavaScript Library: MathJax
• 参考書籍
  • Pythonからはじめる数学入門
  • JavaScriptリファレンス 第6版
  • インタラクティブ・データビジュアライゼーション

ラング線形代数学(上)(S.ラング (著)、芹沢 正三 (翻訳)、ちくま学芸文庫)の5章(線形写像と行列)、3(線形写像に対応する行列)、練習問題8.を取り組んでみる。

8. 1. 
      $\begin{array}{l}F\left(e^t\right)=e^t=1e^t+0e^{2t}\\ F\left(e^{2t}\right)=2e^{2t}=0e^t+2e^{2t}\\ \left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 2\end{array}\right)\end{array}$
   2. 
      $\begin{array}{l}F\left(1\right)=0=0·1+0t\\ F\left(t\right)=1=1·1+0t\\ \left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 0& 0\end{array}\right)\end{array}$
   3. 
      $\begin{array}{l}F\left(e^t\right)=e^t=1e^t+0·t{e}^t\\ F\left(t{e}^t\right)=e^t+t{e}^t=1e^t+1t{e}^t\\ \left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 1\end{array}\right)\end{array}$
   4. 
      $\begin{array}{l}F\left(1\right)=0=0·1+0t+0t^2\\ F\left(t\right)=1=1·1+0t+0t^2\\ F\left(t^2\right)=2t=0·1+2t+0t^2\\ \left(\begin{array}{ccc}0& 1& 0\\ 0& 0& 2\\ 0& 0& 0\end{array}\right)\end{array}$
   5. 
      $\begin{array}{l}F\left(1\right)=0=0·1+0t+0e^t+0e^{2t}+0·t{e}^{2t}\\ F\left(t\right)=1=1·1+0t+0e^t+0e^{2t}+0·t{e}^{2t}\\ F\left(e^t\right)=e^t=0·1+0t+1e^t+0e^{2t}+0·t{e}^{2t}\\ F\left(e^{2t}\right)=2e^{2t}=0·1+0t+0e^t+2e^{2t}+0·t{e}^{2t}\\ F\left(t{e}^{2t}\right)=e^{2t}+2t{e}^{2t}=0·1+0t+0e^t+1e^{2t}+2·t{e}^{2t}\\ \left(\begin{array}{ccccc}0& 1& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 0& 2& 1\\ 0& 0& 0& 0& 2\end{array}\right)\end{array}$
   6. 
      $\begin{array}{l}F\left(\sin t\right)=\cos t=0\sin t+1\cos t\\ F\left(\cos t\right)=-\sin t=-1\sin t+0\cos t\\ \left(\begin{array}{cc}0& -1\\ 1& 0\end{array}\right)\end{array}$

コード(Emacs)

Python 3

#!/usr/bin/env python3
# -*- coding: utf-8 -*-

from sympy import pprint, symbols, Matrix, exp, sin, cos

t = symbols('t')

l = [(Matrix([exp(t), exp(2 * t)]),  Matrix([[1, 0], [0, 2]])),
     (Matrix([1, t]), Matrix([[0, 1], [0, 0]])),
     (Matrix([exp(t), t * exp(t)]), Matrix([[1, 1], [0, 1]])),
     (Matrix([1, t, t**2]), Matrix([[0, 1, 0], [0, 0, 2], [0, 0, 0]])),
     (Matrix([1, t, exp(t), exp(2 * t), t * exp(2 * t)]),
      Matrix([[0, 1, 0, 0, 0],
              [0, 0, 0, 0, 0],
              [0, 0, 1, 0, 0],
              [0, 0, 0, 2, 1],
              [0, 0, 0, 0, 2]])),
     (Matrix([sin(t), cos(t)]), Matrix([[0, -1], [1, 0]]))]

for i, (X, A) in enumerate(l):
    print(f"({chr(ord('a') + i)})")
    pprint(A.T * X)
    print()

入出力結果(Terminal, IPython)

$ ./sample8.py
(a)
⎡   t  ⎤
⎢  ℯ   ⎥
⎢      ⎥
⎢   2⋅t⎥
⎣2⋅ℯ   ⎦

(b)
⎡0⎤
⎢ ⎥
⎣1⎦

(c)
⎡    t    ⎤
⎢   ℯ     ⎥
⎢         ⎥
⎢   t    t⎥
⎣t⋅ℯ  + ℯ ⎦

(d)
⎡ 0 ⎤
⎢   ⎥
⎢ 1 ⎥
⎢   ⎥
⎣2⋅t⎦

(e)
⎡       0       ⎤
⎢               ⎥
⎢       1       ⎥
⎢               ⎥
⎢       t       ⎥
⎢      ℯ        ⎥
⎢               ⎥
⎢       2⋅t     ⎥
⎢    2⋅ℯ        ⎥
⎢               ⎥
⎢     2⋅t    2⋅t⎥
⎣2⋅t⋅ℯ    + ℯ   ⎦

(f)
⎡cos(t) ⎤
⎢       ⎥
⎣-sin(t)⎦

$