学習環境
- Surface 3 (4G LTE)、Surface 3 タイプ カバー、Surface ペン(端末)
- Windows 10 Pro (OS)
- 数式入力ソフト(TeX, MathML): MathType
- MathML対応ブラウザ: Firefox、Safari
- MathML非対応ブラウザ(Internet Explorer, Google Chrome...)用JavaScript Library: MathJax
- 参考書籍
解析入門 原書第3版 (S.ラング(著)、松坂 和夫(翻訳)、片山 孝次(翻訳)、岩波書店)の第2部(微分と基本的な関数)、第6章(曲線をえがくこと)、1(xが大きくなるときの様子)、練習問題19、20.を取り組んでみる。
nが奇数の場合。
nが偶数の場合。
多項式は連続である。そして、前問よりnが奇数の場合、すなわち奇数次の多項式は、xが正に非常に大きくなる場合と負に非常に大きくなる場合で符号が異なる。
よって、中間値の定理より、f(a) を満たす実数aが存在する。すなわち、任意の奇数次の多項式は実根をもつ。
コード(Emacs)
Python 3
#!/usr/bin/env python3
# -*- coding: utf-8 -*-
from sympy import pprint, symbols, Limit, S, summation, Pow
x = symbols('x')
i = symbols('i', integer=True)
f1 = summation((12 - i) * Pow(x, i), (i, 0, 11))
f2 = summation((i - 12) * Pow(x, i), (i, 0, 11))
f3 = summation((11 - i) * Pow(x, i), (i, 0, 10))
f4 = summation((i - 11) * Pow(x, i), (i, 0, 10))
fs = [f1, f2, f3, f4]
for f in fs:
pprint(f)
print()
for x0 in [S.Infinity, -S.Infinity]:
l = Limit(f, x, x0)
pprint(l)
pprint(l.doit())
print()
print()
入出力結果(Terminal, IPython)
$ ./sample19.py
11 10 9 8 7 6 5 4 3 2
x + 2⋅x + 3⋅x + 4⋅x + 5⋅x + 6⋅x + 7⋅x + 8⋅x + 9⋅x + 10⋅x + 11⋅x +
12
⎛ 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2
lim ⎝x + 2⋅x + 3⋅x + 4⋅x + 5⋅x + 6⋅x + 7⋅x + 8⋅x + 9⋅x + 10⋅x + 11
x─→∞
⎞
⋅x + 12⎠
∞
⎛ 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2
lim ⎝x + 2⋅x + 3⋅x + 4⋅x + 5⋅x + 6⋅x + 7⋅x + 8⋅x + 9⋅x + 10⋅x + 1
x─→-∞
⎞
1⋅x + 12⎠
-∞
11 10 9 8 7 6 5 4 3 2
- x - 2⋅x - 3⋅x - 4⋅x - 5⋅x - 6⋅x - 7⋅x - 8⋅x - 9⋅x - 10⋅x - 11⋅x
- 12
⎛ 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2
lim ⎝- x - 2⋅x - 3⋅x - 4⋅x - 5⋅x - 6⋅x - 7⋅x - 8⋅x - 9⋅x - 10⋅x -
x─→∞
⎞
11⋅x - 12⎠
-∞
⎛ 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2
lim ⎝- x - 2⋅x - 3⋅x - 4⋅x - 5⋅x - 6⋅x - 7⋅x - 8⋅x - 9⋅x - 10⋅x -
x─→-∞
⎞
11⋅x - 12⎠
∞
10 9 8 7 6 5 4 3 2
x + 2⋅x + 3⋅x + 4⋅x + 5⋅x + 6⋅x + 7⋅x + 8⋅x + 9⋅x + 10⋅x + 11
⎛ 10 9 8 7 6 5 4 3 2 ⎞
lim ⎝x + 2⋅x + 3⋅x + 4⋅x + 5⋅x + 6⋅x + 7⋅x + 8⋅x + 9⋅x + 10⋅x + 11⎠
x─→∞
∞
⎛ 10 9 8 7 6 5 4 3 2 ⎞
lim ⎝x + 2⋅x + 3⋅x + 4⋅x + 5⋅x + 6⋅x + 7⋅x + 8⋅x + 9⋅x + 10⋅x + 11⎠
x─→-∞
∞
10 9 8 7 6 5 4 3 2
- x - 2⋅x - 3⋅x - 4⋅x - 5⋅x - 6⋅x - 7⋅x - 8⋅x - 9⋅x - 10⋅x - 11
⎛ 10 9 8 7 6 5 4 3 2
lim ⎝- x - 2⋅x - 3⋅x - 4⋅x - 5⋅x - 6⋅x - 7⋅x - 8⋅x - 9⋅x - 10⋅x - 11
x─→∞
⎞
⎠
-∞
⎛ 10 9 8 7 6 5 4 3 2
lim ⎝- x - 2⋅x - 3⋅x - 4⋅x - 5⋅x - 6⋅x - 7⋅x - 8⋅x - 9⋅x - 10⋅x - 1
x─→-∞
⎞
1⎠
-∞
$
HTML5
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JavaScript
let div0 = document.querySelector('#graph0'),
pre0 = document.querySelector('#output0'),
width = 600,
height = 600,
padding = 50,
btn0 = document.querySelector('#draw0'),
btn1 = document.querySelector('#clear0'),
input_r = document.querySelector('#r0'),
input_dx = document.querySelector('#dx'),
input_x1 = document.querySelector('#x1'),
input_x2 = document.querySelector('#x2'),
input_y1 = document.querySelector('#y1'),
input_y2 = document.querySelector('#y2'),
input_n0 = document.querySelector('#n0'),
input_a0 = document.querySelector('#a0'),
inputs = [input_r, input_dx, input_x1, input_x2, input_y1, input_y2,
input_n0, input_a0],
p = (x) => pre0.textContent += x + '\n',
range = (start, end, step=1) => {
let res = [];
for (let i = start; i < end; i += step) {
res.push(i);
}
return res;
};
let draw = () => {
pre0.textContent = '';
let r = parseFloat(input_r.value),
dx = parseFloat(input_dx.value),
x1 = parseFloat(input_x1.value),
x2 = parseFloat(input_x2.value),
y1 = parseFloat(input_y1.value),
y2 = parseFloat(input_y2.value),
n0 = parseInt(input_n0.value),
a0 = parseInt(input_a0.value);
if (r === 0 || dx === 0 || x1 > x2 || y1 > y2) {
return;
}
let points = [],
lines = [],
f = (x) =>
range(0, n0 + 1)
.map((i) => a0 * (n0 + 1 - i) * x ** i)
.reduce((prev, next) => prev + next),
fns = [[f, 'green']],
fns1 = [],
fns2 = [];
fns
.forEach((o) => {
let [f, color] = o;
for (let x = x1; x <= x2; x += dx) {
let y = f(x);
if (Math.abs(y) < Infinity) {
points.push([x, y, color]);
}
}
});
fns2
.forEach((o) => {
let [f, color] = o;
for (let x = x1; x <= x2; x += dx0) {
let g = f(x);
lines.push([x1, g(x1), x2, g(x2), color]);
}
});
let xscale = d3.scaleLinear()
.domain([x1, x2])
.range([padding, width - padding]);
let yscale = d3.scaleLinear()
.domain([y1, y2])
.range([height - padding, padding]);
let xaxis = d3.axisBottom().scale(xscale);
let yaxis = d3.axisLeft().scale(yscale);
div0.innerHTML = '';
let svg = d3.select('#graph0')
.append('svg')
.attr('width', width)
.attr('height', height);
svg.selectAll('line')
.data([[x1, 0, x2, 0], [0, y1, 0, y2]].concat(lines))
.enter()
.append('line')
.attr('x1', (d) => xscale(d[0]))
.attr('y1', (d) => yscale(d[1]))
.attr('x2', (d) => xscale(d[2]))
.attr('y2', (d) => yscale(d[3]))
.attr('stroke', (d) => d[4] || 'black');
svg.selectAll('circle')
.data(points)
.enter()
.append('circle')
.attr('cx', (d) => xscale(d[0]))
.attr('cy', (d) => yscale(d[1]))
.attr('r', r)
.attr('fill', (d) => d[2] || 'green');
svg.append('g')
.attr('transform', `translate(0, ${height - padding})`)
.call(xaxis);
svg.append('g')
.attr('transform', `translate(${padding}, 0)`)
.call(yaxis);
[fns, fns1, fns2].forEach((fs) => p(fs.join('\n')));
};
inputs.forEach((input) => input.onchange = draw);
btn0.onclick = draw;
btn1.onclick = () => pre0.textContent = '';
draw();
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