数学 - Python - JavaScript - 解析学 - 微分と基本的な関数 - 曲線をえがくこと - 曲線をえがくこと(7つの性質、三角関数(正弦、余弦)、累乗、有理式)

解析入門 原書第3版
原著

学習環境

• Surface 3 (4G LTE)、Surface 3 タイプ カバー、Surface ペン(端末)
• Windows 10 Pro (OS)
• 数式入力ソフト(TeX, MathML): MathType
• MathML対応ブラウザ: Firefox、Safari
• MathML非対応ブラウザ(Internet Explorer, Microsoft Edge, Google Chrome...)用JavaScript Library: MathJax
• 参考書籍
  • Pythonからはじめる数学入門
  • JavaScriptリファレンス 第6版
  • インタラクティブ・データビジュアライゼーション

解析入門 原書第3版 (S.ラング(著)、松坂 和夫(翻訳)、片山 孝次(翻訳)、岩波書店)の第2部(微分と基本的な関数)、第6章(曲線をえがくこと)、2(曲線をえがくこと)、練習問題3、4、5.を取り組んでみる。

3. 1. 
      

      x軸との交点(-1, 0)。

      y軸との交点(1, 0)。

   2. 
      

      臨界点。

      $\begin{array}{l}f\text{'}\left(x\right)=\frac{x^2+1-\left(x+1\right)2x}{{\left(x^2+1\right)}^2}\\ =\frac{-x^2-2x+1}{\left(x^2+1\right)}\\ \\ x^2+2x-1=0\\ x=-1\pm \sqrt{1+1}=-1\pm \sqrt{2}\end{array}$
   3. 
      

      増加する範囲。

      $-1-\sqrt{2}\le x\le -1+\sqrt{2}$
   4. 
      

      減少する範囲。

      $x\le -1-\sqrt{2},-1+\sqrt{2}\le x$
   5. 
      

      極大点。

      $-1+\sqrt{2}$

      極小点。

      $-1-\sqrt{2}$
   6. 
      

      $\underset{x\to \infty }{\lim }f\left(x\right)=0$

      $\underset{x\to -\infty }{\lim }f\left(x\right)=0$

   7. 
      

      未定義な区間は無い。

4. 1. 
      $\left(n\pi ,0\right)$

      $\left(0,0\right)$

   2. 
      $\begin{array}{l}f\text{'}\left(x\right)=2\sin x\cos x=\sin 2x\\ \sin 2x=0\\ 2x=n\pi \\ x=\frac{n\pi }{2}\end{array}$
   3. 
      $\begin{array}{l}2n\pi \le 2x\le (2n+1)\pi \\ n\pi \le x\le \left(n+\frac{1}{2}\right)\pi \end{array}$
   4. 
      $\begin{array}{l}\pi +2n\pi \le 2x\le 2\pi +2n\pi \\ \frac{\pi }{2}+n\pi \le x\le \pi +n\pi \end{array}$
   5. 
      

      極大点。

      $\left(n+\frac{1}{2}\right)\pi$

      極小点。

      $\pi +n\pi$
   6. 
      

      $\underset{x\to \pm \infty }{\lim }f\left(x\right)$ は循環。

   7. 
      

      未定義な区間はない。

5. 1. 
      $\begin{array}{l}\left(\frac{\pi }{2}+n\pi ,0\right)\\ \left(0,1\right)\end{array}$
   2. 
      $\begin{array}{l}f\text{'}\left(x\right)=-2\cos x\sin x=-\sin 2x\\ -\sin 2x=0\\ 2x=n\pi \\ x=\frac{n\pi }{2}\end{array}$
   3. 
      $\begin{array}{l}\pi +2n\pi \le 2x\le 2\pi +2n\pi \\ \frac{\pi }{2}+n\pi \le x\le \pi +n\pi \end{array}$
   4. 
      $\begin{array}{l}2n\pi \le 2x\le \pi +2n\pi \\ n\pi \le x\le \frac{\pi }{2}+n\pi \end{array}$
   5. 
      

      極大点。

      $\pi +2n\pi$

      極小点。

      $\frac{\pi }{2}+n\pi$
   6. 
      

      $\underset{x\to \pm \infty }{\lim }f\left(x\right)$は収束しない。

   7. 
      

      未定義な区間はない。

コード(Emacs)

Python 3

#!/usr/bin/env python3
# -*- coding: utf-8 -*-

from sympy import pprint, symbols, solve, Derivative, Limit, S, sin, cos, plot

x = symbols('x')
fs = [(x + 1) / (x ** 2 + 1),
      sin(x) ** 2,
      cos(x) ** 2]

for i, f in enumerate(fs, 3):
    print(f'{i}.')
    pprint(f)
    pprint(solve(f))
    pprint(f.subs({x: 0}))
    d = Derivative(f, x, 1)
    pprint(d)
    f1 = d.doit()
    pprint(f1)
    pprint(solve(f1))
    for x0 in [S.Infinity, -S.Infinity]:
        l = Limit(f, x, x0)
        pprint(l)
        pprint(l.doit())
    print()

p = plot(fs[0], show=False, legend=True)
p.save('sample3.svg')

入出力結果(Terminal, IPython)

$ ./sample3.py
3.
x + 1 
──────
 2    
x  + 1
[-1]
1
d ⎛x + 1 ⎞
──⎜──────⎟
dx⎜ 2    ⎟
  ⎝x  + 1⎠
  2⋅x⋅(x + 1)     1   
- ─────────── + ──────
           2     2    
   ⎛ 2    ⎞     x  + 1
   ⎝x  + 1⎠           
[-1 + √2, -√2 - 1]
    x + 1 
lim ──────
x─→∞ 2    
    x  + 1
0
     x + 1 
 lim ──────
x─→-∞ 2    
     x  + 1
0

4.
   2   
sin (x)
[0, π]
0
d ⎛   2   ⎞
──⎝sin (x)⎠
dx         
2⋅sin(x)⋅cos(x)
⎡   π     3⋅π⎤
⎢0, ─, π, ───⎥
⎣   2      2 ⎦
       2   
lim sin (x)
x─→∞       
<0, 1>
        2   
 lim sin (x)
x─→-∞       
<0, 1>

5.
   2   
cos (x)
⎡π  3⋅π⎤
⎢─, ───⎥
⎣2   2 ⎦
1
d ⎛   2   ⎞
──⎝cos (x)⎠
dx         
-2⋅sin(x)⋅cos(x)
⎡   π     3⋅π⎤
⎢0, ─, π, ───⎥
⎣   2      2 ⎦
       2   
lim cos (x)
x─→∞       
<0, 1>
        2   
 lim cos (x)
x─→-∞       
<0, 1>

$

HTML5

<div id="graph0"></div>
<pre id="output0"></pre>
<label for="r0">r = </label>
<input id="r0" type="number" min="0" value="0.5">
<label for="dx">dx = </label>
<input id="dx" type="number" min="0" step="0.0001" value="0.005">
<br>
<label for="x1">x1 = </label>
<input id="x1" type="number" value="-5">
<label for="x2">x2 = </label>
<input id="x2" type="number" value="5">
<br>
<label for="y1">y1 = </label>
<input id="y1" type="number" value="-0.5">
<label for="y2">y2 = </label>
<input id="y2" type="number" value="1.5">
<br>
<label for="dx0">dx0 = </label>
<input id="dx0" type="number" min="0" value="0.1">

<button id="draw0">draw</button>
<button id="clear0">clear</button>

<script type="text/javascript" src="https://cdnjs.cloudflare.com/ajax/libs/d3/4.2.6/d3.min.js" integrity="sha256-5idA201uSwHAROtCops7codXJ0vja+6wbBrZdQ6ETQc=" crossorigin="anonymous"></script>

<script src="sample3.js"></script>    

JavaScript

let div0 = document.querySelector('#graph0'),
    pre0 = document.querySelector('#output0'),
    width = 600,
    height = 600,
    padding = 50,
    btn0 = document.querySelector('#draw0'),
    btn1 = document.querySelector('#clear0'),
    input_r = document.querySelector('#r0'),
    input_dx = document.querySelector('#dx'),
    input_x1 = document.querySelector('#x1'),
    input_x2 = document.querySelector('#x2'),
    input_y1 = document.querySelector('#y1'),
    input_y2 = document.querySelector('#y2'),
    input_dx0 = document.querySelector('#dx0'),
    inputs = [input_r, input_dx, input_x1, input_x2, input_y1, input_y2,
             input_dx0],
    p = (x) => pre0.textContent += x + '\n',
    range = (start, end, step=1) => {
        let res = [];
        for (let i = start; i < end; i += step) {
            res.push(i);
        }
        return res;
    };

let f = (x) => Math.sin(x) ** 2,
    f1 = (x) => Math.sin(2 * x),
    g = (x) => Math.cos(x) ** 2,
    g1 = (x) => -Math.sin(2 * x),
    hf = (x0) => (x) => f1(x0) * (x - x0) + f(x0),
    hg = (x0) => (x) => g1(x0) * (x - x0) + g(x0);
    

let draw = () => {
    pre0.textContent = '';

    let r = parseFloat(input_r.value),
        dx = parseFloat(input_dx.value),
        x1 = parseFloat(input_x1.value),
        x2 = parseFloat(input_x2.value),
        y1 = parseFloat(input_y1.value),
        y2 = parseFloat(input_y2.value),
        dx0 = parseFloat(input_dx0.value);

    if (r === 0 || dx === 0 || x1 > x2 || y1 > y2) {
        return;
    }    

    let points = [],
        lines = [],
        fns = [[f, 'blue'],
               [g, 'green'],],
        fns1 = [],
        fns2 = [[hf, 'brown'],
                [hg, 'orange']];

    fns
        .forEach((o) => {
            let [f, color] = o;
            for (let x = x1; x <= x2; x += dx) {
                let y = f(x);

                if (Math.abs(y) < Infinity) {
                    points.push([x, y, color]);
                }
            }
        });                 

    fns2
        .forEach((o) => {
            let [f, color] = o;

            for (let x = x1; x <= x2; x += dx0) {
                let g = f(x);
                lines.push([x1, g(x1), x2, g(x2), color]);
            }
        });
    
    let xscale = d3.scaleLinear()
        .domain([x1, x2])
        .range([padding, width - padding]);
    let yscale = d3.scaleLinear()
        .domain([y1, y2])
        .range([height - padding, padding]);

    let xaxis = d3.axisBottom().scale(xscale);
    let yaxis = d3.axisLeft().scale(yscale);
    div0.innerHTML = '';
    let svg = d3.select('#graph0')
        .append('svg')
        .attr('width', width)
        .attr('height', height);

    svg.selectAll('line')
        .data([[x1, 0, x2, 0], [0, y1, 0, y2]].concat(lines))
        .enter()
        .append('line')
        .attr('x1', (d) => xscale(d[0]))
        .attr('y1', (d) => yscale(d[1]))
        .attr('x2', (d) => xscale(d[2]))
        .attr('y2', (d) => yscale(d[3]))
        .attr('stroke', (d) => d[4] || 'black');

    svg.selectAll('circle')
        .data(points)
        .enter()
        .append('circle')
        .attr('cx', (d) => xscale(d[0]))
        .attr('cy', (d) => yscale(d[1]))
        .attr('r', r)
        .attr('fill', (d) => d[2] || 'green');

    svg.append('g')
        .attr('transform', `translate(0, ${height - padding})`)
        .call(xaxis);

    svg.append('g')
        .attr('transform', `translate(${padding}, 0)`)
        .call(yaxis);

    [fns, fns1, fns2].forEach((fs) => p(fs.join('\n')));
};

inputs.forEach((input) => input.onchange = draw);
btn0.onclick = draw;
btn1.onclick = () => pre0.textContent = '';
draw();

r = dx =
x1 = x2 =
y1 = y2 =
dx0 =