数学 - Python - 線型代数 - 2次元と3次元の簡単な幾何学 - 空間における直線・平面の方程式(原点からの距離、標準形)

線型代数入門

学習環境

• Surface 3 (4G LTE)、Surface 3 タイプ カバー、Surface ペン(端末)
• Windows 10 Pro (OS)
• 数式入力ソフト(TeX, MathML): MathType
• MathML対応ブラウザ: Firefox、Safari
• MathML非対応ブラウザ(Internet Explorer, Microsoft Edge, Google Chrome...)用JavaScript Library: MathJax
• 参考書籍
  • Pythonからはじめる数学入門
  • JavaScriptリファレンス 第6版
  • インタラクティブ・データビジュアライゼーション

線型代数入門(松坂 和夫(著)、岩波書店)の第1章(2次元と3次元の簡単な幾何学)、10(空間における直線・平面の方程式)、問5.を取り組んでみる。

5. 1. 1. 
         $\begin{array}{l}4t^2+16t^2+25t^2=1\\ t^2=\frac{1}{45}\\ t=-\frac{1}{3\sqrt{5}}\\ -\frac{2}{3\sqrt{5}}x-\frac{4}{3\sqrt{5}}y+\frac{5}{3\sqrt{5}}z=\frac{4}{\sqrt{5}}\\ -\frac{2}{3\sqrt{5}}x-\frac{4}{3\sqrt{5}}y+\frac{\sqrt{5}}{3}z=\frac{4}{\sqrt{5}}\end{array}$
      2. 
         $\begin{array}{l}4t^2+9t^2+t^2=1\\ t^2=\frac{1}{14}\\ t=-\frac{1}{\sqrt{14}}\\ -\frac{2}{\sqrt{14}}x+\frac{3}{\sqrt{14}}y-\frac{1}{\sqrt{14}}z=\frac{1}{\sqrt{14}}\end{array}$
      3. 
         $\begin{array}{l}36t^2+9t^2+4t^2=1\\ t^2=\frac{1}{49}\\ t=\frac{1}{7}\\ \frac{6}{7}x+\frac{3}{7}y+\frac{2}{7}z=4\end{array}$
   2. 
      $\begin{array}{l}\frac{t^2}{a^2}+\frac{t^2}{b^2}+\frac{t^2}{c^2}=1\\ \left(b^2{c}^2+c^2{a}^2+a^2{b}^2\right)t^2=a^2{b}^2{c}^2\\ t^2=\frac{a^2{b}^2{c}^2}{b^2{c}^2+c^2{a}^2+a^2{b}^2}\\ t=\frac{\left|abc\right|}{\sqrt{b^2{c}^2+c^2{a}^2+a^2{b}^2}}\\ \frac{\left|abc\right|}{a\sqrt{b^2{c}^2+c^2{a}^2+a^2{b}^2}}x+\frac{\left|abc\right|}{b\sqrt{b^2{c}^2+c^2{a}^2+a^2{b}^2}}u+\frac{\left|abc\right|}{c\sqrt{b^2{c}^2+c^2{a}^2+a^2{b}^2}}z=\frac{\left|abc\right|}{\sqrt{b^2{c}^2+c^2{a}^2+a^2{b}^2}}\end{array}$

コード(Emacs)

Python 3

#!/usr/bin/env python3
# -*- coding: utf-8 -*-

from sympy import pprint, symbols, sqrt

print('5.')
a, b, c = symbols('a b c', nonzero=True)
eqs = [(-1 / (3 * sqrt(5)), (2, 4, -5)),
       (-1 / sqrt(14), (2, -3, 1)),
       (1 / 7, (6, 3, 2))]

for i, (t, nums) in enumerate(eqs):
    print(f'({chr(ord("a") + i)})')
    pprint(t)
    print(nums)
    result = sum(map(lambda x: (t * x) ** 2, nums))
    pprint(result)
    print(float(result) == 1)

t = abs(a * b * c) / sqrt((b * c) ** 2 + (c * a) ** 2 + (a * b) ** 2)
nums = (1 / a, 1 / b, 1 / c)
pprint(t)
print(nums)
result = sum(map(lambda x: (t * x) ** 2, nums))
pprint(result)
pprint(result.factor() == 1)

入出力結果(Terminal, IPython)

$ ./sample5.py
5.
(a)
-√5 
────
 15 
(2, 4, -5)
1
True
(b)
-√14 
─────
  14 
(2, -3, 1)
1
True
(c)
0.14285714285714285
(6, 3, 2)
0.9999999999999999
False
         │a⋅b⋅c│          
──────────────────────────
   _______________________
  ╱  2  2    2  2    2  2 
╲╱  a ⋅b  + a ⋅c  + b ⋅c  
(1/a, 1/b, 1/c)
         2  2                    2  2                    2  2        
        a ⋅b                    a ⋅c                    b ⋅c         
───────────────────── + ───────────────────── + ─────────────────────
 2  2    2  2    2  2    2  2    2  2    2  2    2  2    2  2    2  2
a ⋅b  + a ⋅c  + b ⋅c    a ⋅b  + a ⋅c  + b ⋅c    a ⋅b  + a ⋅c  + b ⋅c 
True
$