数学 - Python - 線型代数 - 2次元と3次元の簡単な幾何学 - ベクトルの内積(直角三角形、斜辺、垂線の足、平行四辺形の面積、成分表示)

線型代数入門

学習環境

• Surface 3 (4G LTE)、Surface 3 タイプ カバー、Surface ペン(端末)
• Windows 10 Pro (OS)
• 数式入力ソフト(TeX, MathML): MathType
• MathML対応ブラウザ: Firefox、Safari
• MathML非対応ブラウザ(Internet Explorer, Google Chrome...)用JavaScript Library: MathJax
• 参考書籍
  • Pythonからはじめる数学入門
  • JavaScriptリファレンス 第6版
  • インタラクティブ・データビジュアライゼーション

線型代数入門(松坂 和夫(著)、岩波書店)の第1章(2次元と3次元の簡単な幾何学)、4(ベクトルの内積)、問6、7、8、9.を取り組んでみる。

6. 
   $\begin{array}{l}\left|\overrightarrow{AB}\right|=\sqrt{4^2+3^2}=5\\ {\left|\overrightarrow{OH}\right|}^2+t^2=4^2\\ {\left|\overrightarrow{OH}\right|}^2+{\left(5-t\right)}^2=3^2\\ 4^2-t^2+{\left(5-t\right)}^2=3^2\\ 16-t^2+25+t^2-10t=9\\ t=\frac{32}{10}=\frac{16}{5}\\ \left|\overrightarrow{OH}\right|=\sqrt{16-\frac{{16}^2}{5^2}}\\ =\frac{4\sqrt{9}}{5}\\ =\frac{12}{5}\\ \overrightarrow{OA}·\overrightarrow{OH}=4·\frac{12}{5}·\frac{\frac{12}{5}}{4}\\ =\frac{144}{25}\end{array}$
7. 
   $\begin{array}{l}\sqrt{{\left|a\right|}^2{\left|b\right|}^2-{\left(\left|a\right|\left|b\right|\cos \angle AOB\right)}^2}\\ =\sqrt{{\left|a\right|}^2{\left|b\right|}^2-{\left|a\right|}^2{\left|b\right|}^2{\cos }^2\angle AOB}\\ =\left|a\right|\left|b\right|\sqrt{1-{\cos }^2\angle AOB}\\ =\left|a\right|\left|b\right|\sqrt{{\sin }^2\angle AOB}\\ =\left|a\right|\left|b\right|{\sin }^2\angle AOB\end{array}$
8. 
   $\begin{array}{l}S=\sqrt{\left(a_1{}^2+a_2{}^2\right)\left(b_1{}^2+b_2{}^2\right)-{\left(a_1{b}_1+a_2{b}_2\right)}^2}\\ =\sqrt{a_1{}^2{b}_1{}^2+a_1{}^2{b}_2{}^2+a_2{}^2{b}_1{}^2+a_2{}^2{b}_2{}^2-a_1{}^2{b}_1{}^2-a_2{}^2{b}_2{}^2-2a_1{b}_1{a}_2{b}_2}\\ =\sqrt{a_1{}^2{b}_2{}^2+a_2{}^2{b}_1{}^2-2a_1{b}_1{a}_2{b}_2}\\ =\sqrt{{\left(a_1{b}_2-a_2{b}_1\right)}^2}\\ =\left|a_1{b}_2-a_2{b}_1\right|\end{array}$
9. 
   $\begin{array}{l}a=\left(-3,2\right)\\ b=\left(1,5\right)\\ S=\frac{1}{2}\left|-3·5-2·1\right|\\ =\frac{17}{2}\end{array}$

コード(Emacs)

Python 3

#!/usr/bin/env python3
# -*- coding: utf-8 -*-

from sympy import pprint, symbols, Matrix, sqrt, Rational

a = Matrix([2, 1])
b = Matrix([-1, 3])
c = Matrix([3, 6])
a0 = b - a
b0 = c - a

pprint(Rational(1, 2) * abs(a0[0] * b0[1] - a0[1] * b0[0]))

入出力結果(Terminal, IPython)

$ ./sample6.py
17/2
$