数学 - Python - 関数の変化をとらえる - 関数の極限と微分法 – いろいろな微分法 - 陰関数

数学読本〈4〉

学習環境

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• Windows 10 Pro (OS)
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• MathML対応ブラウザ: Firefox、Safari
• MathML非対応ブラウザ(Internet Explorer, Google Chrome...)用JavaScript Library: MathJax
• 参考書籍
  • Pythonからはじめる数学入門
  • JavaScriptリファレンス 第6版
  • インタラクティブ・データビジュアライゼーション

数学読本〈4〉数列の極限，順列/順列・組合せ/確率/関数の極限と微分法(松坂 和夫(著)、岩波書店)の第17章(関数の変化をとらえる - 関数の極限と微分法)、17.4(いろいろな微分法)、陰関数、問42.を取り組んでみる。

42. 1. 
       $\begin{array}{l}2y\frac{dy}{dx}=4\\ \frac{dy}{dx}=\frac{2}{y}\end{array}$
    2. 
       $\begin{array}{l}\frac{1}{2}x+2y\frac{dy}{dx}=0\\ \frac{dy}{dx}=-\frac{x}{4y}\end{array}$
    3. 
       $\begin{array}{l}2x-2y\frac{dy}{dx}=0\\ \frac{dy}{dx}=\frac{x}{y}\end{array}$
    4. 
       $\begin{array}{l}2x{y}^3+x^{2}3y^2\frac{dy}{dx}=0\\ \frac{dy}{dx}=-\frac{2x{y}^3}{x^{2}3y^2}=-\frac{2y}{3x}\end{array}$

コード(Emacs)

Python 3

#!/usr/bin/env python3
# -*- coding: utf-8 -*-

from sympy import pprint, symbols, Derivative, solve

x, y = symbols('x y')
exprs = [y ** 2 - 4 * x,
         x ** 2 / 4 + y ** 2 - 1,
         x ** 2 - y ** 2 - 1,
         x ** 2 * y ** 3 - 1]

for i, expr in enumerate(exprs, 1):
    print('({})'.format(i))
    pprint(expr)
    s = solve(expr, y, dict=True)
    pprint(s)
    for a in s:
        f = a[y]
        d = Derivative(f, x)
        pprint(d)
        pprint(d.doit())

入出力結果(Terminal, IPython)

$ ./sample42.py
(1)
        2
-4⋅x + y 
[{y: -2⋅√x}, {y: 2⋅√x}]
d        
──(-2⋅√x)
dx       
-1 
───
 √x
d       
──(2⋅√x)
dx      
1 
──
√x
(2)
 2         
x     2    
── + y  - 1
4          
⎡⎧       __________ ⎫  ⎧      __________⎫⎤
⎢⎪      ╱    2      ⎪  ⎪     ╱    2     ⎪⎥
⎢⎨   -╲╱  - x  + 4  ⎬  ⎨   ╲╱  - x  + 4 ⎬⎥
⎢⎪y: ───────────────⎪, ⎪y: ─────────────⎪⎥
⎣⎩          2       ⎭  ⎩         2      ⎭⎦
  ⎛    __________ ⎞
  ⎜   ╱    2      ⎟
d ⎜-╲╱  - x  + 4  ⎟
──⎜───────────────⎟
dx⎝       2       ⎠
       x       
───────────────
     __________
    ╱    2     
2⋅╲╱  - x  + 4 
  ⎛   __________⎞
  ⎜  ╱    2     ⎟
d ⎜╲╱  - x  + 4 ⎟
──⎜─────────────⎟
dx⎝      2      ⎠
      -x       
───────────────
     __________
    ╱    2     
2⋅╲╱  - x  + 4 
(3)
 2    2    
x  - y  - 1
⎡⎧       ________⎫  ⎧      ________⎫⎤
⎢⎨      ╱  2     ⎬  ⎨     ╱  2     ⎬⎥
⎣⎩y: -╲╱  x  - 1 ⎭, ⎩y: ╲╱  x  - 1 ⎭⎦
  ⎛    ________⎞
d ⎜   ╱  2     ⎟
──⎝-╲╱  x  - 1 ⎠
dx              
    -x     
───────────
   ________
  ╱  2     
╲╱  x  - 1 
  ⎛   ________⎞
d ⎜  ╱  2     ⎟
──⎝╲╱  x  - 1 ⎠
dx             
     x     
───────────
   ________
  ╱  2     
╲╱  x  - 1 
(4)
 2  3    
x ⋅y  - 1
⎡⎧          ____             ____⎫  ⎧          ____             ____⎫              
⎢⎪         ╱ 1              ╱ 1  ⎪  ⎪         ╱ 1              ╱ 1  ⎪              
⎢⎪        ╱  ──    √3⋅ⅈ⋅   ╱  ── ⎪  ⎪        ╱  ──    √3⋅ⅈ⋅   ╱  ── ⎪              
⎢⎨     3 ╱    2         3 ╱    2 ⎬  ⎨     3 ╱    2         3 ╱    2 ⎬  ⎧        ___
⎢⎪     ╲╱    x          ╲╱    x  ⎪  ⎪     ╲╱    x          ╲╱    x  ⎪  ⎪       ╱ 1 
⎢⎪y: - ───────── - ──────────────⎪, ⎪y: - ───────── + ──────────────⎪, ⎨y:    ╱  ──
⎢⎩         2             2       ⎭  ⎩         2             2       ⎭  ⎪   3 ╱    2
⎣                                                                      ⎩   ╲╱    x 

  ⎤
  ⎥
  ⎥
_⎫⎥
 ⎪⎥
 ⎬⎥
 ⎪⎥
 ⎭⎦
  ⎛       ____             ____⎞
  ⎜      ╱ 1              ╱ 1  ⎟
  ⎜     ╱  ──    √3⋅ⅈ⋅   ╱  ── ⎟
  ⎜  3 ╱    2         3 ╱    2 ⎟
d ⎜  ╲╱    x          ╲╱    x  ⎟
──⎜- ───────── - ──────────────⎟
dx⎝      2             2       ⎠
     ____             ____
    ╱ 1              ╱ 1  
   ╱  ──    √3⋅ⅈ⋅   ╱  ── 
3 ╱    2         3 ╱    2 
╲╱    x          ╲╱    x  
───────── + ──────────────
   3⋅x           3⋅x      
  ⎛       ____             ____⎞
  ⎜      ╱ 1              ╱ 1  ⎟
  ⎜     ╱  ──    √3⋅ⅈ⋅   ╱  ── ⎟
  ⎜  3 ╱    2         3 ╱    2 ⎟
d ⎜  ╲╱    x          ╲╱    x  ⎟
──⎜- ───────── + ──────────────⎟
dx⎝      2             2       ⎠
     ____             ____
    ╱ 1              ╱ 1  
   ╱  ──    √3⋅ⅈ⋅   ╱  ── 
3 ╱    2         3 ╱    2 
╲╱    x          ╲╱    x  
───────── - ──────────────
   3⋅x           3⋅x      
  ⎛     ____⎞
d ⎜    ╱ 1  ⎟
──⎜   ╱  ── ⎟
dx⎜3 ╱    2 ⎟
  ⎝╲╱    x  ⎠
        ____ 
       ╱ 1   
-2⋅   ╱  ──  
   3 ╱    2  
   ╲╱    x   
─────────────
     3⋅x
$