数学 - Python - 線形代数学 - 行列 – 行列の乗法(転置行列、対称行列、スカラー積の性質、正値性)

ラング線形代数学(上)
原著

学習環境

• Surface 3 (4G LTE)、Surface 3 タイプ カバー、Surface ペン(端末)
• Windows 10 Pro (OS)
• 数式入力ソフト(TeX, MathML): MathType
• MathML対応ブラウザ: Firefox、Safari
• MathML非対応ブラウザ(Internet Explorer, Google Chrome...)用JavaScript Library: MathJax
• 参考書籍
  • Pythonからはじめる数学入門
  • JavaScriptリファレンス 第6版
  • インタラクティブ・データビジュアライゼーション

ラング線形代数学(上)(S.ラング (著)、芹沢 正三 (翻訳)、ちくま学芸文庫)の3章(行列)、3(行列の乗法)、練習問題10.を取り組んでみる。

10. 
    $\begin{array}{l}SP1\\ \langle A,B\rangle ={\displaystyle \sum _{i=1}^n\left({\displaystyle \sum _{j=1}^n{a}_j{m}_{ji}}\right)b_i}\\ ={\displaystyle \sum _{i=1}^n\left({\displaystyle \sum _{j=1}^n{a}_j{b}_i{m}_{ji}}\right)}\\ \langle B,A\rangle ={\displaystyle \sum _{i=1}^n\left({\displaystyle \sum _{j=1}^n{b}_j{m}_{ji}}\right)a_i}\\ ={\displaystyle \sum _{i=1}^n\left({\displaystyle \sum _{j=1}^n{a}_i{b}_j{m}_{ji}}\right)}\\ ={\displaystyle \sum _{i=1}^n\left({\displaystyle \sum _{j=1}^n{a}_i{b}_j{m}_{ij}}\right)}\\ \langle A,B\rangle =\langle B,A\rangle \\ \\ SP2\\ \langle A,\left(B+C\right)\rangle ={\displaystyle \sum _{i=1}^n\left({\displaystyle \sum _{j=1}^n{a}_j{m}_{ji}}\right)\left(b_i+c_i\right)}\\ ={\displaystyle \sum _{i=1}^n\left({\displaystyle \sum _{j=1}^n{a}_j{b}_i{m}_{ji}}\right)+{\displaystyle \sum _{i=1}^n\left({\displaystyle \sum _{j=1}^n{a}_j{c}_i{m}_{ji}}\right)}}\\ =\langle A,B\rangle +\langle A,C\rangle \\ \langle \left(B+C\right),A\rangle =\langle A,\left(B+C\right)\rangle \\ \\ SP3\\ \langle xA,B\rangle ={\displaystyle \sum _{i=1}^n\left({\displaystyle \sum _{j=1}^{n}x{a}_j{m}_{ji}}\right)b_i}\\ =x{\displaystyle \sum _{i=1}^n\left({\displaystyle \sum _{j=1}^n{a}_j{m}_{ji}}\right)b_i}\\ =x\langle A,B\rangle \\ \langle A,xB\rangle ={\displaystyle \sum _{i=1}^n\left({\displaystyle \sum _{j=1}^{n}x{a}_j{m}_{ji}}\right)x{b}_i}\\ =x{\displaystyle \sum _{i=1}^n\left({\displaystyle \sum _{j=1}^{n}x{a}_j{m}_{ji}}\right)b_i}\\ =x\langle A,B\rangle \\ \\ \\ A=\left(\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right)\\ M=\left(\begin{array}{cc}-1& 0\\ 0& 0\end{array}\right)\\ B=\left(\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right)\\ {}^{t}AMB=\left(\begin{array}{cc}-1& 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right)=\left(-1\right)\end{array}$

コード(Emacs)

Python 3

#!/usr/bin/env python3
# -*- coding: utf-8 -*-

from sympy import pprint, Matrix, randMatrix, symbols
import random

for i in range(1, 6):
    print(i)
    i1 = random.randrange(100)
    i2 = random.randrange(100)
    i3 = random.randrange(100)
    a = random.randrange(100)
    b = random.randrange(100)
    c = random.randrange(100)
    m = Matrix([[i1, a, b],
                [a, i2, c],
                [b, c, i3]])
    print(m.transpose() == m)

    def mul(a, b):
        return a.transpose() * m * b

    for j in range(1, 6):
        print('{0}-{1}'.format(i, j))
        a = randMatrix(3, 1)
        b = randMatrix(3, 1)
        c = randMatrix(3, 1)
        x = random.randrange(100)
        print(mul(a, b) == mul(b, a))
        print(mul(a, b + c) == (mul(a, b) + mul(a, c)) == mul(b + c, a))
        print(mul(x * a, b) == mul(a, x * b) == x * mul(a, b))

a = Matrix([[1],
            [0]])
m = Matrix([[-1, 0],
            [0, 0]])
b = Matrix([[1],
            [0]])

print('< 0')
print(m.transpose() == m)
pprint(a.transpose() * m * b)

入出力結果(Terminal, IPython)

$ ./sample10.py
1
True
1-1
True
True
True
1-2
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True
1-3
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1-4
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1-5
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2
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2-1
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True
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2-4
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2-5
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3
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3-1
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True
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3-2
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3-3
True
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3-4
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True
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3-5
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4
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4-4
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5-3
True
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True
5-4
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5-5
True
True
True
< 0
True
[-1]
$