数学 - Python - 線形代数学 - 線形写像 – 線形写像(定義、直線の像)

ラング線形代数学(上)
原著

学習環境

• Surface 3 (4G LTE)、Surface 3 タイプ カバー、Surface ペン(端末)
• Windows 10 Pro (OS)
• 数式入力ソフト(TeX, MathML): MathType
• MathML対応ブラウザ: Firefox、Safari
• MathML非対応ブラウザ(Internet Explorer, Google Chrome...)用JavaScript Library: MathJax
• 参考書籍
  • Pythonからはじめる数学入門
  • JavaScriptリファレンス 第6版
  • インタラクティブ・データビジュアライゼーション

ラング線形代数学(上)(S.ラング (著)、芹沢 正三 (翻訳)、ちくま学芸文庫)の4章(線形写像)、2(線形写像)、練習問題8、9.を取り組んでみる。

8. 
   $\begin{array}{l}F\left(0+0\right)\\ =F\left(0\right)\\ =\left(1,0\right)\\ =\left(1,0\right)+\left(1,0\right)-\left(1,0\right)\\ =F\left(0\right)+F\left(0\right)-\left(1,0\right)\end{array}$

   線形ではない。

   $\begin{array}{l}F\left(X+Y\right)\\ =\left(X+Y\right)·A+2\\ =X·A+2+Y·A+2-2\\ =F\left(X\right)+F\left(Y\right)-2\end{array}$

   線形ではない。

   $\begin{array}{l}F\left(\left(x_1,y_1\right)+\left(x_2,y_2\right)\right)\\ =F\left(x_1+x_2,y_1+y_2\right)\\ =\left(2\left(x_1+x_2\right),3\left(y_1+y_2\right)\right)\\ =\left(2x_1,3y_1\right)+\left(2x_2,3y_2\right)\\ =F\left(x_1,y_1\right)+F\left(x_2,y_2\right)\\ F\left(c\left(x,y\right)\right)\\ =F\left(cx,cy\right)\\ =\left(2cx,3cy\right)\\ =c\left(2x,3y\right)\\ =cF\left(x,y\right)\end{array}$

   線形である。

   $\begin{array}{l}F\left(\left(x_1,y_1\right)+\left(x_2,y_2\right)\right)\\ =F\left(x_1+x_2,y_1+y_2\right)\\ =\left(\left(x_1+x_2\right)\left(y_1+y_2\right),y_1+y_2\right)\\ =\left(x_1{y}_1+x_1{y}_2+x_2{y}_1+x_2{y}_2,y_1+y_2\right)\\ =\left(x_1{y}_1,y_1\right)+\left(x_2{y}_2,y_2\right)+\left(x_1{y}_2+x_2{y}_1,0\right)\\ =F\left(x_1,y_1\right)+F\left(x_2,y_2\right)+\left(x_1{y}_2+x_2{y}_1,0\right)\end{array}$

   線形ではない。

9. 
   $\begin{array}{l}F\left(P+tA\right)\\ =F\left(P\right)+tF\left(A\right)\\ \\ F\left(A\right)=O\\ F\left(P\right)\\ \\ F\left(A\right)\ne O\\ F\left(P\right)+tF\left(A\right)\end{array}$

コード(Emacs)

Python 3

#!/usr/bin/env python3
# -*- coding: utf-8 -*-

from sympy import pprint, symbols, Matrix, randMatrix
import random

print('8.')

F = lambda v: Matrix([2 * v[0], 3 * v[1]])

for _ in range(5):
    u = randMatrix(1, 2)
    v = randMatrix(1, 2)
    pprint(u)
    pprint(v)
    print(F(u + v) == F(u) + F(v))
    c = random.randrange(100)
    print(F(c * v) == c * F(v))

入出力結果(Terminal, IPython)

$ ./sample8.py
8.
[84  49]
[76  19]
True
True
[47  14]
[44  81]
True
True
[79  57]
[87  11]
True
True
[73  74]
[14  15]
True
True
[78  32]
[23  61]
True
True
$