数学 - Python - 線形代数学 - 線形写像 – 線形写像(ベクトル空間からベクトル空間への線形写像、零ベクトル)

ラング線形代数学(上)
原著

学習環境

• Surface 3 (4G LTE)、Surface 3 タイプ カバー、Surface ペン(端末)
• Windows 10 Pro (OS)
• 数式入力ソフト(TeX, MathML): MathType
• MathML対応ブラウザ: Firefox、Safari
• MathML非対応ブラウザ(Internet Explorer, Google Chrome...)用JavaScript Library: MathJax
• 参考書籍
  • Pythonからはじめる数学入門
  • JavaScriptリファレンス 第6版
  • インタラクティブ・データビジュアライゼーション

ラング線形代数学(上)(S.ラング (著)、芹沢 正三 (翻訳)、ちくま学芸文庫)の4章(線形写像)、2(線形写像)、練習問題2、3、4、5.を取り組んでみる。

2. 
   $\begin{array}{l}T\left(O\right)\\ =T\left(O+O\right)\\ =T\left(O\right)+T\left(O\right)\\ =2T\left(O\right)\\ 2T\left(O\right)-T\left(O\right)=O\\ \left(2-1\right)T\left(O\right)=O\\ T\left(O\right)=O\end{array}$
3. 
   $\begin{array}{l}T\left(u+v\right)\\ =T\left(u\right)+T\left(v\right)\\ =w+O\\ =w\end{array}$
4. 
   $\left\{z\in V|\exists u\in V\forall v\in V\left[T\left(u\right)=w\wedge T\left(v\right)=O\wedge z=u+v\right]\right\}$
5. 
   $\begin{array}{l}T\left(-v\right)\\ =T\left(-1v\right)\\ =-1T\left(v\right)\\ =-T\left(v\right)\end{array}$

コード(Emacs)

Python 3

#!/usr/bin/env python3
# -*- coding: utf-8 -*-

from sympy import pprint, symbols, Matrix, solve

print('2.')

v1 = Matrix([2, 0])
v2 = Matrix([0, 3])
O = Matrix([0, 0])

x1, x2 = symbols('x1 x2')
T = lambda v: Matrix(
    [v for v in solve(x1 * v1 + x2 * v2 - v, x1, x2).values()])

pprint(T(O))

print('4.')
z = Matrix(symbols('z1 z2'))
w = Matrix(symbols('w1 w2'))
pprint(solve(T(z) - w, z))

print('5.')
v = Matrix(symbols('v1 v2'))
print(T(-v) == -T(v))

入出力結果(Terminal, IPython)

$ ./sample2.py
2.
⎡0⎤
⎢ ⎥
⎣0⎦
4.
{z₁: 2⋅w₁, z₂: 3⋅w₂}
5.
True
$