数学 - Python - JavaScript - 解析学 - 微分と基本的な関数 - 平均値の定理 - 増加・減少関数(半円の内部の長方形、面積、最大値、蓋のない直方体、表面積、体積、周長、正方形、速度)

解析入門 原書第3版
原著

学習環境

• Surface 3 (4G LTE)、Surface 3 タイプ カバー、Surface ペン(端末)
• Windows 10 Pro (OS)
• 数式入力ソフト(TeX, MathML): MathType
• MathML対応ブラウザ: Firefox、Safari
• MathML非対応ブラウザ(Internet Explorer, Google Chrome...)用JavaScript Library: MathJax
• 参考書籍
  • Pythonからはじめる数学入門
  • JavaScriptリファレンス 第6版
  • インタラクティブ・データビジュアライゼーション

解析入門 原書第3版 (S.ラング(著)、松坂 和夫(翻訳)、片山 孝次(翻訳)、岩波書店)の第2部(微分と基本的な関数)、第5章(平均値の定理)、3(増加・減少関数)、補充問題1-4.を取り組んでみる。

1. 
   

   長方形の面積をS、半円の半径をr、直径上にある辺の長さをa、もう一方の長さをbとする。

   $\begin{array}{l}S=ab\\ b^2=r^2-{\left(\frac{a}{2}\right)}^2\\ S=a\sqrt{r^2-{\left(\frac{a}{2}\right)}^2}\\ S^2=a^2\left(r^2-\frac{a^2}{4}\right)\\ =-\frac{a^4}{4}+r^2{a}^2\\ \frac{d}{da}{S}^2=-a^3+2r^{2}a\\ =-a\left(a^2-2r^2\right)\\ a^2=2r^2\\ a=\sqrt{2}r\\ b^2=r^2-{\left(\frac{\sqrt{2}r}{2}\right)}^2\\ =r^2-\frac{2r^2}{4}\\ =\frac{1}{2}{r}^2\\ b=\frac{r}{\sqrt{2}}\end{array}$
2. 
   

   直方体の体積をV、高さをh、正方形の一辺の長さをaとする。

   $\begin{array}{l}{a}^2+4ha=48\\ h=\frac{48-a^2}{4a}\\ 0<a<\sqrt{48}=4\sqrt{3}\\ V=a^{2}h=\frac{48a-a^3}{4}\\ \frac{d}{da}V=\frac{48-3a^2}{4}\\ =-\frac{3}{4}\left(a^2-16\right)\\ h=\frac{48-16}{16}=3\end{array}$
3. 
   $\begin{array}{l}ab\le 2\sqrt{ab}\\ a=b\end{array}$
4. 1. 
      $\begin{array}{l}f\left(x\right)=\frac{300}{x}\left(\frac{30}{100}\left(2+\frac{x^2}{60}\right)+D\right)\\ =\frac{300}{x}\left(\frac{6}{5}+D+\frac{x^2}{200}\right)\\ =\frac{300}{x}\left(\frac{6}{5}+D\right)+\frac{3}{2}x\\ \\ f\text{'}\left(x\right)=\frac{-300}{x^2}\left(\frac{6}{5}+D\right)+\frac{3}{2}\\ =\frac{-360-300D}{x^2}+\frac{2}{3}\\ \frac{-300}{x^2}\left(\frac{6}{5}+D\right)+\frac{3}{2}=0\\ x^2=\frac{2}{3}·\left(360+300D\right)\\ \\ x^2=\frac{2}{3}·360=240\\ x<30\\ f\text{'}\left(x\right)>0\\ f\left(30\right)=\frac{300}{30}\frac{6}{5}+\frac{3}{2}·30\\ =12+45\\ =57\end{array}$

      速度 30 mph 、トラックの運送の費用 57ドル。

   2. 
      $\begin{array}{l}{x}^2=\frac{2}{3}\left(360+300\right)\\ =440\\ x<30\\ f\text{'}\left(x\right)>0\\ f\left(30\right)=10·\frac{11}{5}+45\\ =67\end{array}$

      速度 30 mph 、トラックの運送の費用 67ドル。

   3. 
      $\begin{array}{l}{x}^2=\frac{2}{3}\left(360+600\right)=640\\ x<30\\ f\text{'}\left(x\right)>0\\ f\left(30\right)=10·\frac{16}{5}+\frac{3}{2}·30\\ =32+45\\ =77\end{array}$

      速度 30 mph 、トラックの運送の費用 77ドル。

   4. 
      $\begin{array}{l}{x}^2=\frac{2}{3}\left(360+900\right)=840\\ x<30\\ f\text{'}\left(x\right)>0\\ f\left(30\right)=10·\frac{21}{5}+\frac{3}{2}·30\\ =42+45\\ =87\end{array}$

      速度 30 mph 、トラックの運送の費用 87。

   5. 
      $\begin{array}{l}{x}^2=\frac{2}{3}\left(360+1200\right)=1040\\ {30}^2<1040<{60}^2\\ x=\sqrt{1040}\\ =4\sqrt{65}\\ \\ f\text{'}\left(4\sqrt{65}\right)=0\\ x<4\sqrt{65}\\ f\text{'}\left(x\right)<0\\ x>4\sqrt{65}\\ f\text{'}\left(x\right)>0\\ f\left(4\sqrt{65}\right)=\frac{300}{4\sqrt{65}}\left(\frac{6}{5}+4\right)+\frac{3}{2}·4\sqrt{65}\\ =\frac{60·3}{2\sqrt{65}}+\frac{300}{\sqrt{65}}+6\sqrt{65}\\ =\frac{180+600+6·65}{2\sqrt{65}}\\ =\frac{90+300+195}{\sqrt{65}}\\ =\frac{585}{\sqrt{65}}\\ =9\sqrt{65}\end{array}$

      速度 $4\sqrt{65}$ 、トラックの運送の費用 $9\sqrt{65}$ 。

コード(Emacs)

Python 3

#!/usr/bin/env python3
# -*- coding: utf-8 -*-

from sympy import pprint, symbols, Derivative, solve, Rational

x, d = symbols('x d')

f = 300 / x * (Rational(30, 100) * (2 + x ** 2 / 60) + d)

for i in range(5):
    g = f.subs({d: i})
    f1 = Derivative(f.subs({d: i}), x).doit()
    pprint(solve(f1, x))
    for x0 in [30, 60]:
        pprint(f1.subs({x: x0}))
        pprint(g.subs({x: x0}))

入出力結果(Terminal, IPython)

$ ./sample1.py
[-2⋅√30, 2⋅√30]
13
──
10
51
29
──
20
93
[-8⋅√5, 8⋅√5]
29
──
30
61
41
──
30
98
[-2⋅√130, 2⋅√130]
19
──
30
71
77
──
60
103
[-12⋅√5, 12⋅√5]
3/10
81
6/5
108
[-2⋅√230, 2⋅√230]
-1/30
91
67
──
60
113
$

HTML5

<div id="graph0"></div>
<pre id="output0"></pre>
<label for="r0">r = </label>
<input id="r0" type="number" min="0" value="0.5">
<label for="dx">dx = </label>
<input id="dx" type="number" min="0" step="0.0001" value="0.005">
<br>
<label for="x1">x1 = </label>
<input id="x1" type="number" value="30">
<label for="x2">x2 = </label>
<input id="x2" type="number" value="60">
<br>
<label for="y1">y1 = </label>
<input id="y1" type="number" value="90">
<label for="y2">y2 = </label>
<input id="y2" type="number" value="100">
<br>
<label for="d0">D = </label>
<input id="d0" type="number" min="0" step="1" value="4">

<button id="draw0">draw</button>
<button id="clear0">clear</button>

<script type="text/javascript" src="https://cdnjs.cloudflare.com/ajax/libs/d3/4.2.6/d3.min.js" integrity="sha256-5idA201uSwHAROtCops7codXJ0vja+6wbBrZdQ6ETQc=" crossorigin="anonymous"></script>

<script src="sample1.js"></script>    

JavaScript

let div0 = document.querySelector('#graph0'),
    pre0 = document.querySelector('#output0'),
    width = 600,
    height = 600,
    padding = 50,
    btn0 = document.querySelector('#draw0'),
    btn1 = document.querySelector('#clear0'),
    input_r = document.querySelector('#r0'),
    input_dx = document.querySelector('#dx'),
    input_x1 = document.querySelector('#x1'),
    input_x2 = document.querySelector('#x2'),
    input_y1 = document.querySelector('#y1'),
    input_y2 = document.querySelector('#y2'),
    input_d0 = document.querySelector('#d0'),
    inputs = [input_r, input_dx, input_x1, input_x2, input_y1, input_y2,
             input_d0],
    p = (x) => pre0.textContent += x + '\n',
    range = (start, end, step=1) => {
        let res = [];
        for (let i = start; i < end; i += step) {
            res.push(i);
        }
        return res;
    };

let factorial = (n) => range(1, n + 1).reduce((prev, next) => prev * next, 1);

let f = (x) => Math.tan(x),
    g = (x) => x;

let draw = () => {
    pre0.textContent = '';

    let r = parseFloat(input_r.value),
        dx = parseFloat(input_dx.value),
        x1 = parseFloat(input_x1.value),
        x2 = parseFloat(input_x2.value),
        y1 = parseFloat(input_y1.value),
        y2 = parseFloat(input_y2.value),
        D = parseInt(input_d0.value, 10);
    
    if (r === 0 || dx === 0 || x1 > x2 || y1 > y2) {
        return;n
    }
    let points = [],
        lines = [],
        f = (x) => 300 / x * (30 / 100 * (2 + x ** 2 / 60) + D),
        fns = [[f, 'green']];

    fns
        .forEach((o) => {
            let [f, color] = o;
            for (let x = x1; x <= x2; x += dx) {
                let y = f(x);

                if (Math.abs(y) < Infinity) {
                    points.push([x, y, color]);
                }
            }
        });                 
    
    let xscale = d3.scaleLinear()
        .domain([x1, x2])
        .range([padding, width - padding]);
    let yscale = d3.scaleLinear()
        .domain([y1, y2])
        .range([height - padding, padding]);

    let xaxis = d3.axisBottom().scale(xscale);
    let yaxis = d3.axisLeft().scale(yscale);
    div0.innerHTML = '';
    let svg = d3.select('#graph0')
        .append('svg')
        .attr('width', width)
        .attr('height', height);

    svg.selectAll('line')
        .data([[x1, 0, x2, 0], [0, y1, 0, y2]].concat(lines))
        .enter()
        .append('line')
        .attr('x1', (d) => xscale(d[0]))
        .attr('y1', (d) => yscale(d[1]))
        .attr('x2', (d) => xscale(d[2]))
        .attr('y2', (d) => yscale(d[3]))
        .attr('stroke', (d) => d[4] || 'black');
    
    svg.selectAll('circle')
        .data(points)
        .enter()
        .append('circle')
        .attr('cx', (d) => xscale(d[0]))
        .attr('cy', (d) => yscale(d[1]))
        .attr('r', r)
        .attr('fill', (d) => d[2] || 'green');
    
    svg.append('g')
        .attr('transform', `translate(0, ${height - padding})`)
        .call(xaxis);

    svg.append('g')
        .attr('transform', `translate(${padding}, 0)`)
        .call(yaxis);

    p(fns.join('\n'));
};

inputs.forEach((input) => input.onchange = draw);
btn0.onclick = draw;
btn1.onclick = () => pre0.textContent = '';
draw();

r = dx =
x1 = x2 =
y1 = y2 =
D =