数学 - Python - 素数 - 存在することの証明と具体的な例を示すことの違い( @hyuki 、 @a33554432 )結城浩さん、センケイさんのツイートより

Pythonからはじめる数学入門

開発環境

• macOS Sierra - Apple (OS)
• Emacs (Text Editor)
• Python 3.6 (プログラミング言語)

本題とは関係ないけど「少なくとも」がややコンフリクトしている感がする面白い事例（譲歩する意味の「少なくとも」と数の多寡をいう「少なくとも」） https://t.co/XBoJLzmXo3

— 結城浩 (@hyuki) 2017年6月16日

「男なんて星の数ほどいる」と言うのと、「男なんて素数の数ほどいる」と言うのとでは、後者のほうが多いか、少なくとも同等なはずなのに、なぜか後者のほうが少なく感じる

— センケイ (@a33554432) 2017年6月15日

自然数と素数について、感覚的、数学的、間隔的な側面のから考えてみた。

とりあえず、星の数は$\mathbb{N}$(自然数(0、1、2、3、4、5、…)の個数(濃度)と同じと仮定。

星の数$~$ 素数の数

数学的に、入門でよく示される例も加えて、

• 自然数 $~$ 偶数
• 自然数 $~$ 奇数
• 自然数 $~$ 素数
• …

数学的な個数(濃度)について、より厳密に知りたい場合は集合・位相入門等で。

ということで、星の数(自然数)と素数の個数の、無限の導入による感覚とのズレを感じる人についての話はここまでで終了。

ここからは、ツイートに「男なんて」とあることに注目。

そうすると、ただの個数(濃度)の比較だけではなく、実際に出会えるかどうかも重要になってくると考えられる。

星は夜空に等間隔に見えると仮定する。

すると、この星(0)がダメなら隣の星(1)、隣の星(1)がダメならその星(1)のさらに隣の星(2)…と見つけていくことができる。男に変換すれば、「この男(0)がダメなら隣の男(1)、隣の男(1)がダメならその男(1)のさらに隣の男(2)…」となる。

素数の場合も同様に考えてみる。2がダメなら3、3ダメなら3の次の素数の5…と見つけていくことになる。すると、だんだん見つけるのが大変になってくる。最終的(2016/1/7時点)には「2^74207281 − 1」の次の素数は存在することは分かっていても見つけることがまだできてない。男に変換すると、男(2)ダメなら男(3)、男(3)ダメなら男(3)の次の男(5)…と見つけていくことになる。…男(「2^74207281 − 1」)がダメならその次の男、と行きたいところだけど次の男がいることは分かっていてもなかなか出会えない。

ということで、

「男なんて星の数ほどいる」と言うのと、「男なんて素数の数ほどいる」と言うのとでは、後者のほうが多いか、少なくとも同等なはずなのに、なぜか後者のほうが少なく感じる

を「男となんて星の数ほど出会える」、「男となんて素数の数ほど出会える」と少し言い換えれば、後者の方が少なく感じるという疑問が数学的にも解決されるのかなぁと思ったりした今日この頃。

おまけ: 小さめな素数の間隔。

コード(Emacs)

Python 3

#!/usr/bin/env python3
# -*- coding: utf-8 -*-

from sympy import nextprime

n1 = 2
n2 = n1
print(n1)
for _ in range(100):
    n2 = nextprime(n1)
    print('間隔: {0}'.format(n2 - n1))
    print(n2)
    n1 = n2

入出力結果(Terminal, IPython)

$ ./sample.py
2
間隔: 1
3
間隔: 2
5
間隔: 2
7
間隔: 4
11
間隔: 2
13
間隔: 4
17
間隔: 2
19
間隔: 4
23
間隔: 6
29
間隔: 2
31
間隔: 6
37
間隔: 4
41
間隔: 2
43
間隔: 4
47
間隔: 6
53
間隔: 6
59
間隔: 2
61
間隔: 6
67
間隔: 4
71
間隔: 2
73
間隔: 6
79
間隔: 4
83
間隔: 6
89
間隔: 8
97
間隔: 4
101
間隔: 2
103
間隔: 4
107
間隔: 2
109
間隔: 4
113
間隔: 14
127
間隔: 4
131
間隔: 6
137
間隔: 2
139
間隔: 10
149
間隔: 2
151
間隔: 6
157
間隔: 6
163
間隔: 4
167
間隔: 6
173
間隔: 6
179
間隔: 2
181
間隔: 10
191
間隔: 2
193
間隔: 4
197
間隔: 2
199
間隔: 12
211
間隔: 12
223
間隔: 4
227
間隔: 2
229
間隔: 4
233
間隔: 6
239
間隔: 2
241
間隔: 10
251
間隔: 6
257
間隔: 6
263
間隔: 6
269
間隔: 2
271
間隔: 6
277
間隔: 4
281
間隔: 2
283
間隔: 10
293
間隔: 14
307
間隔: 4
311
間隔: 2
313
間隔: 4
317
間隔: 14
331
間隔: 6
337
間隔: 10
347
間隔: 2
349
間隔: 4
353
間隔: 6
359
間隔: 8
367
間隔: 6
373
間隔: 6
379
間隔: 4
383
間隔: 6
389
間隔: 8
397
間隔: 4
401
間隔: 8
409
間隔: 10
419
間隔: 2
421
間隔: 10
431
間隔: 2
433
間隔: 6
439
間隔: 4
443
間隔: 6
449
間隔: 8
457
間隔: 4
461
間隔: 2
463
間隔: 4
467
間隔: 12
479
間隔: 8
487
間隔: 4
491
間隔: 8
499
間隔: 4
503
間隔: 6
509
間隔: 12
521
間隔: 2
523
間隔: 18
541
間隔: 6
547
$