数学 - 線形代数学 - 線形写像 – 線形写像の像と核(方程式の任意の解、核の元)

学習環境

ラング線形代数学(上)(S.ラング (著)、芹沢正三 (翻訳)、ちくま学芸文庫)の4章(線形写像)、3(線形写像の像と核)、練習問題4、5.を取り組んでみる。

$\begin{array}{l} {v_{1}, \dots, v_{n}} \\ w \in W \\ \exists v \in V [F (v) = w] \\ v = x_{1} v_{1} + \dots + x_{n} v_{n} \\ w = x_{1} F (v_{1}) + \dots + x_{n} F (v_{n}) \\ w = O \\ x_{1} = \dots = x_{n} = 0 \\ v = O \end{array}$
$\begin{array}{l} {v_{1}, \dots, v_{n}} \\ v_{0} = x_{1} v_{1} + \dots + x_{n} v_{n} \\ L (v_{0}) = w \\ X = y_{1} v_{1} + \dots + y_{n} v_{n} \\ L (X) = w \\ X = ((y_{1} - x_{1}) + x_{1}) v_{1} + \dots + ((y_{n} - x_{n}) + x_{n}) v_{n} \\ = (x_{1} v_{1} + \dots + x_{n} v_{n}) + ((y_{1} - x_{1}) v_{1} + \dots + (y_{n} - x_{n}) v_{n}) \\ = v_{0} + ((y_{1} - x_{1}) v_{1} + \dots + (y_{n} - x_{n}) v_{n}) \\ L (((y_{1} - x_{1}) v_{1} + \dots + (y_{n} - x_{n}) v_{n})) \\ = y_{1} L (v_{1}) + \dots + y_{n} L (v_{n}) - (x_{1} L (v_{1}) + \dots + x_{n} L (v_{n})) \\ = L (X) - L (v_{0}) \\ = w - w \\ = O \\ u = (y_{1} - x_{1}) v_{1} + \dots + (y_{n} - x_{n}) v_{n} \\ L (u) = O \\ X = v_{0} + u \end{array}$

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