数学 - Python - 線型代数 - 2次元と3次元の簡単な幾何学 - ベクトルの内積(直交、等式、シュヴァルツの不等式の証明、幾何学的意味、正三角形)

線型代数入門

学習環境

• Surface 3 (4G LTE)、Surface 3 タイプ カバー、Surface ペン(端末)
• Windows 10 Pro (OS)
• 数式入力ソフト(TeX, MathML): MathType
• MathML対応ブラウザ: Firefox、Safari
• MathML非対応ブラウザ(Internet Explorer, Google Chrome...)用JavaScript Library: MathJax
• 参考書籍
  • Pythonからはじめる数学入門
  • JavaScriptリファレンス 第6版
  • インタラクティブ・データビジュアライゼーション

線型代数入門(松坂 和夫(著)、岩波書店)の第1章(2次元と3次元の簡単な幾何学)、4(ベクトルの内積)、問1、2、3、4、5.を取り組んでみる。

1. 1. 
      $\begin{array}{l}a·(a+tb)=0\hfill \\ |a{|}^2+ta·b=0\hfill \\ t=-\frac{|a{|}^2}{a·b}\hfill \\ =\frac{4+9}{2-3}\hfill \\ =13\hfill \end{array}$
   2. 
      $\begin{array}{l}(a-b)·(a+tb)=0\\ {\left|a\right|}^2+t(a·b-{\left|b\right|}^2)-a·b=0\\ t=\frac{a·b-{\left|a\right|}^2}{a·b-{\left|b\right|}^2}\\ =\frac{-1-13}{-1-2}\\ =\frac{14}{3}\end{array}$
   3. 
      $\begin{array}{l}{\left|a\right|}^2-t^2{\left|b\right|}^2=0\\ t^2=\frac{{\left|a\right|}^2}{{\left|b\right|}^2}\\ t^2=\frac{13}{2}\\ t=\pm \sqrt{\frac{13}{2}}\end{array}$
2. 1. 
      $\begin{array}{l}|a+b{|}^2+|a-b{|}^2\\ =(a+b)·(a+b)+(a-b)·(a-b)\\ =|a{|}^2+2a·b+|b{|}^2+|a{|}^2-2a·b+|b{|}^2\\ =2\left(|a{|}^2+|b{|}^2\right)\end{array}$
   2. 
      $\begin{array}{l}|a+b{|}^2-|a-b{|}^2\\ =(a+b)·(a+b)-(a-b)·(a-b)\\ =|a{|}^2+2a·b+|b{|}^2-|a{|}^2+2a·b-|b{|}^2\\ =4a·b\end{array}$
3. 
   $\begin{array}{l}|a·b|\\ =\left|\right|a\left|\right|b\left|\cos \theta \right|\\ =\left|a\right|\left|b\right|\left|\cos \theta \right|\\ \le \left|a\right|\left|b\right|\end{array}$
4. 
   $\begin{array}{l}\cos \theta =1\\ \theta =0\end{array}$
5. 1. 
      $\begin{array}{l}a·b=\left|a\right|\left|b\right|\cos \frac{\pi }{3}\\ =\frac{1}{2}\end{array}$
   2. 
      $\begin{array}{l}\overrightarrow{OM}=\frac{2a+b}{3}\\ \overrightarrow{ON}=\frac{a+2b}{3}\\ \overrightarrow{OM}·\overrightarrow{ON}=\frac{2a+b}{3}·\frac{a+2b}{3}\\ =\frac{2|a{|}^2+5a·b+2|b{|}^2}{9}\\ =\frac{4+\frac{5}{2}}{9}\\ =\frac{13}{18}\end{array}$

コード(Emacs)

Python 3

#!/usr/bin/env python3
# -*- coding: utf-8 -*-

from sympy import pprint, symbols, Matrix, solve

print('1.')
t = symbols('t')

a = Matrix([2, 3])
b = Matrix([1, -1])

eqs = [a.dot(a + t * b),
       (a - b).dot(a + t * b),
       (a + t * b).dot(a - t * b)]

for i, eq in enumerate(eqs):
    print('({0})'.format(chr(ord('a') + i)))
    pprint(solve(eq, t))
    print()

入出力結果(Terminal, IPython)

$ ./sample1.py 
1.
(a)
[13]

(b)
[14/3]

(c)
⎡-√26   √26⎤
⎢─────, ───⎥
⎣  2     2 ⎦

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