数学 - 線型代数 - 2次元と3次元の簡単な幾何学 - ベクトルの加法と実数倍

線型代数入門

学習環境

Surface 3 (4G LTE)、Surface 3 タイプカバー、Surface ペン(端末)
Windows 10 Pro (OS)
数式入力ソフト(TeX, MathML): MathType
MathML対応ブラウザ: Firefox、Safari
MathML非対応ブラウザ(Internet Explorer, Google Chrome...)用JavaScript Library: MathJax
参考書籍

線型代数入門(松坂和夫(著)、岩波書店)の第1章(2次元と3次元の簡単な幾何学)、3(ベクトルの加法と実数倍)、問1-7.を取り組んでみる。

1. $\begin{array}{l} \vec{O L} = \frac{\vec{O B} + \vec{O C}}{2} \\ \vec{O M} = \frac{\vec{O C} + \vec{O A}}{2} \\ \vec{O N} = \frac{\vec{O A} + \vec{O B}}{2} \\ \vec{B N} + \vec{C M} \\ = \vec{O N} - \vec{O B} + \vec{O M} - \vec{O C} \\ = \frac{\vec{O A} + \vec{O B}}{2} - \vec{O B} + \frac{\vec{O C} + \vec{O A}}{2} - \vec{O C} \\ = \vec{O A} - \frac{\vec{O B} + \vec{O C}}{2} \\ \vec{L A} = \vec{O A} - \vec{O L} \\ = \vec{O A} - \frac{\vec{O B} + \vec{O C}}{2} \end{array}$
2. $\begin{array}{l} \vec{O L} - \vec{O B} + \vec{O M} - \vec{O C} + \vec{O N} - \vec{O A} \\ = \frac{\vec{O B} + \vec{O C}}{2} - \vec{O B} + \frac{\vec{O C} + \vec{O A}}{2} - \vec{O C} + \frac{\vec{O A} + \vec{O B}}{2} - \vec{O A} \\ = 0 \end{array}$
$\begin{array}{l} \vec{A L} = \frac{a + b}{2} \\ \vec{B M} = - a + \frac{1}{2} b \\ \vec{C N} = \frac{a}{2} - b \end{array}$
$\begin{array}{l} \vec{A B} + \vec{B C} = a \\ \vec{B C} - \vec{A B} = b \\ 2 \vec{A B} = a - b \\ \vec{A B} = \frac{a - b}{2} \\ \vec{A D} = \vec{A B} + b \\ = \frac{a + b}{2} \end{array}$
第1式で等号が成り立つのは、2つのベクトルが同じ方向の場合。

第2式で等号が成り立つのは、2つのベクトルが反対方向の場合。
$\begin{array}{l} \vec{A D} = \vec{A B} + \frac{\vec{A C} - \vec{A B}}{3} \\ = \frac{\vec{A C} + 2 \vec{A B}}{3} \\ \vec{A E} = \vec{A B} + \frac{2 (\vec{A C} - \vec{A B})}{3} \\ = \frac{2 \vec{A C} + \vec{A B}}{3} \\ \vec{A D} + \vec{A E} = \frac{\vec{A C} + 2 \vec{A B}}{3} + \frac{2 \vec{A C} + \vec{A B}}{3} \\ = \vec{A B} + \vec{A C} \end{array}$
$\begin{array}{l} \vec{A M} = \frac{1}{2} \vec{A D} \\ \vec{A N} = \frac{\vec{A B} + \vec{A C}}{2} \\ \vec{M N} = \frac{\vec{A B} + \vec{A C}}{2} - \frac{1}{2} \vec{A D} \\ = \frac{\vec{A B} + \vec{A C} - \vec{A D}}{2} \\ \vec{D C} = \vec{A C} - \vec{A D} \\ \vec{A C} = \vec{A D} + \vec{D C} \\ \vec{M N} = \frac{\vec{A B} + \vec{A D} + \vec{D C} - \vec{A D}}{2} \\ = \frac{\vec{A B} + \vec{D C}}{2} \end{array}$
$\begin{array}{l} \vec{A M_{1}} = \frac{1}{3} \vec{A D} \\ \vec{A M_{2}} = \frac{2}{3} \vec{A D} \\ \vec{A N_{1}} = \vec{A B} + \frac{1}{3} (\vec{A C} - \vec{A B}) \\ = \frac{2 \vec{A B} + \vec{A C}}{3} \\ \vec{A N_{2}} = \vec{A B} + \frac{2}{3} (\vec{A C} - \vec{A B}) \\ = \frac{\vec{A B} + 2 \vec{A C}}{3} \\ \vec{M_{1} N_{1}} + \vec{M_{2} N_{2}} = \frac{2 \vec{A B} + \vec{A C}}{3} - \frac{1}{3} \vec{A D} + \frac{\vec{A B} + 2 \vec{A C}}{3} - \frac{2}{3} \vec{A D} \\ = \vec{A B} + \vec{A C} - \vec{A D} \\ = \vec{A B} + \vec{A C} + \vec{D A} \\ = \vec{A B} + \vec{D C} \end{array}$

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2017年6月28日水曜日

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