数学 - Python - 解析学 - 微分と基本的な関数 - 微分係数、導関数 - 変化率(放物線、直角三角形、正方形)

解析入門 原書第3版
原著

学習環境

• Surface 3 (4G LTE)、Surface 3 タイプ カバー、Surface ペン(端末)
• Windows 10 Pro (OS)
• 数式入力ソフト(TeX, MathML): MathType
• MathML対応ブラウザ: Firefox、Safari
• MathML非対応ブラウザ(Internet Explorer, Google Chrome...)用JavaScript Library: MathJax
• Pythonからはじめる数学入門(参考書籍)

解析入門 原書第3版 (S.ラング(著)、松坂 和夫(翻訳)、片山 孝次(翻訳)、岩波書店)の第2部(微分と基本的な関数)、第3章(微分係数、導関数)、補充問題(変化率) 1-4.を取り組んでみる。

1. 
   $\begin{array}{l}\frac{dy}{dx}=2x\\ 1=2x\\ x=\frac{1}{2}\\ \left(\frac{1}{2},\frac{1}{4}\right)\\ \\ \frac{dx}{dt}=3t^2=3\\ \frac{dy}{dt}=\frac{dy}{dx}·\frac{dx}{dt}=6\\ \\ \frac{dy}{dt}=4t=4\\ \frac{dx}{dy}·\frac{dy}{dt}=\frac{1}{2}\sqrt{4}=1\end{array}$
2. 
   $\begin{array}{l}x\left(t\right)=8-t\\ y\left(t\right)=6+2t\\ \\ f\left(t\right)=\frac{1}{2}\left(8-t\right)\left(6+2t\right)\\ f\text{'}\left(t\right)=\frac{1}{2}\left(-6-2t+16-2t\right)\\ =-2t+5\\ f\text{'}\left(2\right)=-4+5=1\end{array}$
3. 
   $\begin{array}{l}l\left(t\right)=3t\\ f\left(t\right)={\left(3t\right)}^2=9t^2\\ f\text{'}\left(t\right)=18t\\ 3t=15\\ t=5\\ f\text{'}\left(5\right)=90\left(c{m}^2/s\right)\end{array}$
4. 
   $\begin{array}{l}f\left(t\right)={\left({17}^2-{\left(3t\right)}^2\right)}^{\frac{1}{2}}\\ f\text{'}\left(t\right)=\frac{1}{2}{\left({17}^2-{\left(3t\right)}^2\right)}^{-\frac{1}{2}}2·3t·3\\ 3t=8\\ t=\frac{8}{3}\\ f\text{'}\left(\frac{8}{3}\right)={\left({17}^2-8^2\right)}^{-\frac{1}{2}}8·3\\ =24·{\left(25·9\right)}^{-\frac{1}{2}}\\ =\frac{24}{5·3}\\ =\frac{8}{5}\end{array}$

コード(Emacs)

#!/usr/bin/env python3
# -*- coding: utf-8 -*-

from sympy import symbols, Derivative, pprint, solve, sqrt, Rational

print('1.')
x, y, t = symbols('x y t')
expr = x ** 2 - y
pprint(expr)
dy = Derivative(expr, x)
dx = Derivative(expr, y)
pprint(dy)
pprint(dx)

pprint(solve(dy.doit() - 1, x, dict=True))

pprint(Derivative(t ** 3, t).subs({t: 1}).doit())
pprint(Derivative(x ** 2, t).subs({x: t ** 3, t: 1}).doit())

pprint(Derivative(x, t).subs({t: 1, x: sqrt(y), y: 4 * t}).doit())
pprint(Derivative(4 * t, t).subs({t: 1}).doit())

print('2.')
x0 = 8 - t
y0 = 6 + 2 * t
area = Rational(1, 2) * x0 * y0

pprint(Derivative(area, t).subs({t: 2}).doit())

入出力結果(Terminal, IPython)

$ ./sample1.py
1.
 2    
x  - y
∂ ⎛ 2    ⎞
──⎝x  - y⎠
∂x        
∂ ⎛ 2    ⎞
──⎝x  - y⎠
∂y        
[{x: 1/2}]
3
6
1
4
2.
1
$