数学 - Python - 線形代数学 - 行列 – 1次方程式(自明な解、連立1次同次方程式、解集合、ベクトル空間、複素数、連立1次方程式の解)

ラング線形代数学(上)
原著

学習環境

• Surface 3 (4G LTE)、Surface 3 タイプ カバー、Surface ペン(端末)
• Windows 10 Pro (OS)
• 数式入力ソフト(TeX, MathML): MathType
• MathML対応ブラウザ: Firefox、Safari
• MathML非対応ブラウザ(Internet Explorer, Google Chrome...)用JavaScript Library: MathJax
• 参考書籍
  • Pythonからはじめる数学入門
  • JavaScriptリファレンス 第6版
  • インタラクティブ・データビジュアライゼーション

ラング線形代数学(上)(S.ラング (著)、芹沢 正三 (翻訳)、ちくま学芸文庫)の3章(行列)、2(1次方程式)、練習問題1、2、3、4.を取り組んでみる。

1. 
   $\begin{array}{l}{x}_1{A}^1+\cdots +x_1{A}^n=O\\ A^1,\cdots ,A^nは1次独立だから、\\ x_1=\cdots =x_n=0\end{array}$
2. 
   $\begin{array}{l}X=\left(x_1,\cdots ,x_n\right)\\ Y=\left(y_1,\cdots ,y_n\right)\\ Z=\left(z_1,\cdots ,z_n\right)\\ O=\left(0,\cdots ,0\right)\\ \\ \left(x_1+y_1\right)a_{i1}+\cdots +\left(x_n+y_n\right)a_{in}\\ =x_1{a}_{i1}+\cdots +x_n{a}_{in}+y_1{a}_{i1}+\cdots +y_n{a}_{in}\\ =0+0\\ =0\\ c{x}_1{a}_{i1}+\cdots +c{x}_n{a}_{in}\\ =c\left(x_1{a}_{i1}+\cdots +x_n{a}_{in}\right)\\ =c0\\ =0\\ VS1\\ \left(x_i+y_i\right)+z_i=x_i+\left(y_i+z_i\right)\\ VS2\\ 0+x_i=x_i+0=x_i\\ VS3\\ x_i+\left(-1\right)x_i=x_i-x_i=0\\ VS4\\ x_i+y_i=y_i+x_i\\ VS5\\ c\left(x_i+y_i\right)=c{x}_i+c{y}_i\\ VS6\\ \left(a+b\right)x_i=a{x}_i+b{x}_i\\ VS7\\ \left(ab\right)x_i=a\left(b{x}_i\right)\\ VS8\\ 1x_i=x_i\end{array}$
3. 1. 
      $\begin{array}{l}y=4x-7\\ 2x+12x-21=5\\ 14x=26\\ x=\frac{13}{7}\\ y=\frac{52-49}{7}=\frac{3}{7}\end{array}$
   2. 
      $\begin{array}{l}3x+y=1\\ 2x+2y=3\\ 4x=-1\\ x=-\frac{1}{4}\\ y=1+\frac{3}{4}=\frac{7}{4}\\ z=\frac{2}{4}-\frac{21}{4}=-\frac{19}{4}\end{array}$
4. 1. 
      $\begin{array}{l}x=2-iy\\ 2i+y-2y=1\\ y=-1+2i\\ x=2+i+2=4+i\end{array}$
   2. 
      $\begin{array}{l}x=2y-iz\\ 4y-2iz+iy-\left(1+i\right)z=1\\ \left(4+i\right)y-\left(1+3i\right)z=1\\ -2iy-z+y-\left(2-i\right)z=1\\ \left(1-2i\right)y-\left(3-i\right)z=1\\ y=\frac{1+\left(1+3i\right)z}{4+i}\\ y=\frac{1+\left(3-i\right)z}{1-2i}\\ \frac{1+\left(1+3i\right)z}{4+i}=\frac{1+\left(3-i\right)z}{1-2i}\\ z=\frac{\frac{1}{1-2i}-\frac{1}{4+i}}{\frac{1+3i}{4+i}-\frac{3-i}{1-2i}}\\ =\frac{4+i-1+2i}{\left(1+3i\right)\left(1-2i\right)+\left(-3+i\right)\left(4+i\right)}\\ =\frac{3+3i}{7+i-13+i}\\ =\frac{3+3i}{-6+2i}\\ =\frac{3\left(1+i\right)\left(-6-2i\right)}{36+4}\\ =\frac{3\left(-4-8i\right)}{40}\\ =\frac{-3-6i}{10}\\ y=\frac{1+\left(1+3i\right)·\frac{-3-6i}{10}}{4+i}\\ =\frac{10+15-15i}{10\left(4+i\right)}\\ =\frac{25-15i}{10\left(4+i\right)}\\ =\frac{5-3i}{2\left(4+i\right)}\\ =\frac{\left(5-3i\right)\left(4-i\right)}{2·17}\\ =\frac{17-17i}{34}\\ =\frac{1-i}{2}\\ x=2\frac{1-i}{2}-i\frac{-3-6i}{10}\\ =1-i+\frac{3i-6}{10}\\ =\frac{4-7i}{10}\end{array}$
   3. 
      $\begin{array}{l}y=\left(1+i\right)x\\ ix+\left(1+i\right)x=3-i\\ x=\frac{3-i}{1+2i}=\frac{\left(3-i\right)\left(1-2i\right)}{5}=\frac{1-7i}{5}\\ y=\left(1+i\right)\frac{1-7i}{5}=\frac{8-6i}{5}\end{array}$
   4. 
      $\begin{array}{l}x=1+i+\left(-2+i\right)y\\ i-1+\left(-1-2i\right)y+\left(-2-i\right)y=1\\ y=\frac{-i+2}{-3-3i}=\frac{\left(-i+2\right)\left(1-i\right)}{-3·2}=\frac{-3i+1}{-6}=\frac{-1+3i}{6}\\ x=1+i+\left(-2+i\right)\frac{3i-1}{6}\\ =\frac{6+6i-6i-i+2-3}{6}\\ =\frac{5-i}{6}\end{array}$

コード(Emacs)

Python 3

#!/usr/bin/env python3
# -*- coding: utf-8 -*-

from sympy import pprint, symbols, solve

x, y, z = symbols('x y z')

print('3.')
for i, exprs in enumerate([(2 * x + 3 * y - 5,
                            4 * x - y - 7),
                           (2 * x + 3 * y + z,
                            x - 2 * y - z - 1,
                            x + 4 * y + z - 2)]):
    print('({0})'.format(chr(ord('a') + i)))
    pprint(solve(exprs, x, y, z, dict=True))

print('4.')
for i, exprs in enumerate([(+1j * x - 2 * y - 1,
                            x + 1j * y - 2),
                           (2 * x + 1j * y - (1 + 1j) * z - 1,
                            x - 2 * y + 1j * z,
                            -1j * x + y - (2 - 1j) * z - 1),
                           ((1 + +1j) * x - y,
                            1j * x + y - 3 + 1j),
                           (1j * x - (2 + 1j) * y - 1,
                            x + (2 - 1j) * y - 1 - 1j)]):
    print('({0})'.format(chr(ord('a') + i)))
    pprint(solve(exprs, x, y, z, dict=True))

入出力結果(Terminal, IPython)

$ ./sample1.py
3.
(a)
[{x: 13/7, y: 3/7}]
(b)
[{x: -1/4, y: 7/4, z: -19/4}]
4.
(a)
[{x: 4.0 + 1.0⋅ⅈ, y: -1.0 + 2.0⋅ⅈ}]
(b)
[{x: 0.4 - 0.7⋅ⅈ, y: 0.5 - 0.5⋅ⅈ, z: -0.3 - 0.6⋅ⅈ}]
(c)
[{x: 0.2 - 1.4⋅ⅈ, y: 1.6 - 1.2⋅ⅈ}]
(d)
[{x: 0.833333333333333 - 0.166666666666667⋅ⅈ, y: -0.166666666666667 + 0.5⋅ⅈ}]
$