数学 - 解析学 - 各種の初等関数 - 対数関数・指数関数(帰納法、微分)

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解析入門〈1〉(松坂和夫(著)、岩波書店)の第5章(各種の初等関数)、5.1(対数関数・指数関数)、問題5.1-5、6、7.を取り組んでみる。

$\begin{array}{l} \frac{d}{d x} (x^{0} \log x) = \frac{d}{d x} (\log x) = \frac{0!}{x} \\ \frac{d^{n + 2}}{d x^{n + 2}} (x^{n + 1} \log x) \\ = \frac{d^{n + 1}}{d x^{n + 1}} (\frac{d}{d x} (x^{n + 1} \log x)) \\ = \frac{d^{n + 1}}{d x^{n + 1}} ((n + 1) x^{n} \log x + x^{n}) \\ = (n + 1) \frac{d^{n + 1}}{d x^{n + 1}} (x^{n} \log x) + \frac{d^{n + 1}}{d x^{n + 1}} x^{n} \\ = (n + 1) \frac{n!}{x} + 0 \\ = \frac{(n + 1)!}{x} \end{array}$
$\begin{array}{l} \frac{d^{n + 1}}{d x^{n + 1}} (x e^{x}) = \frac{d^{n}}{d x^{n}} (\frac{d}{d x} x e^{x}) \\ = \frac{d^{n}}{d x^{n}} (e^{x} + x e^{x}) \\ = e^{x} + (x + n) e^{x} \\ = (x + (n + 1)) e^{x} \end{array}$
1. $\begin{array}{l} g (x) = f (x) e^{- k x} \\ g' (x) = f' (x) e^{- k x} + f (x) k e^{- k x} \\ = k f (x) e^{- k x} + f (x) k e^{- k x} \\ = 0 \\ g (x) は定数。 \\ g (x) = C \\ C = f (x) e^{- k x} \\ f (x) = C e^{k x} \end{array}$
2. $\begin{array}{l} g (x) = f (x) e^{- φ (x)} \\ g' (x) = f' (x) e^{- φ (x)} + f (x) e^{- φ (x)} (- φ' (x)) \\ = φ' (x) f (x) e^{- φ (x)} + f (x) e^{- φ (x)} (- φ' (x)) \\ = 0 \\ g (x) は定数。 \\ C = g (x) \\ C = f (x) e^{- φ (x)} \\ f (x) = C e^{φ (x)} \end{array}$

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