数学 - 無限の世界への一歩 - 数列の極限、無限級数 – 無限級数 - 無限級数の和の計算

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数学読本〈4〉数列の極限，無限級数/順列・組合せ/確率/関数の極限と微分法(松坂和夫(著)、岩波書店)の第14章(無限の世界への一歩 - 数列の極限、無限級数)、14.3(無限級数)、無限級数の和の計算、問33.を取り組んでみる。

1. $\begin{array}{l} \sum_{n = 1}^{\infty} ({(\frac{2}{3})}^{n} + \frac{1}{3^{n}}) \\ = \frac{\frac{2}{3}}{1 - \frac{2}{3}} + \frac{\frac{1}{3}}{1 - \frac{1}{3}} \\ = 2 + \frac{1}{2} \\ = \frac{5}{2} \end{array}$
2. $\begin{array}{l} \sum_{n = 1}^{\infty} ({(\frac{1}{2})}^{n} - {(\frac{1}{5})}^{n}) \\ = \frac{\frac{1}{2}}{1 - \frac{1}{2}} - \frac{\frac{1}{5}}{1 - \frac{1}{5}} \\ = 1 - \frac{1}{4} \\ = \frac{3}{4} \end{array}$
3. $\begin{array}{l} \sum_{n = 1}^{\infty} (3 {(3 x)}^{n - 1} - 2 {(2 x)}^{n - 1}) \\ = \frac{3}{1 - 3 x} - \frac{2}{1 - 2 x} \\ = \frac{3 - 6 x - 2 + 6 x}{(1 - 3 x) (1 - 2 x)} \\ = \frac{1}{(1 - 3 x) (1 - 2 x)} \end{array}$

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