## 2017年2月7日火曜日

### 数学 - 線形代数学 - R^nにおけるベクトル – スカラー積

ラング線形代数学(上)(S.ラング (著)、芹沢 正三 (翻訳)、ちくま学芸文庫)の1章(R^nにおけるベクトル)、3(スカラー積)、練習問題1-8.を取り組んでみる。

1. $4+1=5$

2. $1+9=10$

3. $4+1+25=30$

4. $1+4+9=14$

5. ${\pi }^{2}+9+1={\pi }^{2}+10$

6. $225+4+16=245$

1. $-2-1=-3$

2. $12$

3. $-2-1+5=2$

4. $1-6-12=-17$

5. $2{\pi }^{2}-9-7=2{\pi }^{2}-16$

6. $15\pi -6-4=15\pi -10$

1. $\begin{array}{l}{\left(A+B\right)}^{2}\\ =\left(A+B\right)·\left(A+B\right)\\ =\left(A+B\right)·A+\left(A+B\right)·B\\ =A·A+B·A+A·B+B·B\\ ={A}^{2}+A·B+A·B+{B}^{2}\\ ={A}^{2}+2A·B+{B}^{2}\\ \\ {\left(A-B\right)}^{2}\\ ={\left(A+\left(-B\right)\right)}^{2}\\ ={A}^{2}+2A·\left(-B\right)+{\left(-B\right)}^{2}\\ ={A}^{2}-2A·B+{B}^{2}\end{array}$

1. $2-1+5=6$

2. $2-3+1=0$

3. $-15-2+14=-3$

4. $2\pi -2\pi =0$
(b)と(d)

2. $\begin{array}{l}SP1\\ {\int }_{-1}^{1}f\left(x\right)g\left(x\right)dx={\int }_{-1}^{1}g\left(x\right)f\left(x\right)dx\\ SP2\\ {\int }_{-1}^{1}f\left(x\right)\left(g\left(x\right)+h\left(x\right)\right)dx={\int }_{-1}^{1}f\left(x\right)g\left(x\right)+f\left(x\right)h\left(x\right)dx\\ SP3\\ {\int }_{-1}^{1}cf\left(x\right)g\left(x\right)dx=c{\int }_{-1}^{1}f\left(x\right)g\left(x\right)dx\\ SP4\\ f=0⇒{\int }_{-1}^{1}f\left(x\right)f\left(x\right)dx={\int }_{-1}^{1}0dx=0\\ f\ne 0⇒{\int }_{-1}^{1}f\left(x\right)f\left(x\right)dx={\int }_{-1}^{1}{\left(f\left(x\right)\right)}^{2}dx>0\end{array}$

3. $\begin{array}{l}{\int }_{-1}^{1}f\left(x\right)f\left(x\right)dx\\ ={\int }_{-1}^{1}{x}^{2}dx\\ =\frac{1}{3}\left({1}^{3}-{\left(-1\right)}^{3}\right)\\ =\frac{2}{3}\\ {\int }_{-1}^{1}g\left(x\right)g\left(x\right)dx\\ ={\int }_{-1}^{1}{x}^{4}dx\\ =\frac{1}{5}\left({1}^{5}-{\left(-1\right)}^{5}\right)\\ =\frac{2}{5}\\ {\int }_{-1}^{1}f\left(x\right)g\left(x\right)dx\\ ={\int }_{-1}^{1}{x}^{3}dx\\ =\frac{1}{4}\left({1}^{4}-{\left(-1\right)}^{4}\right)\\ =0\end{array}$

4. $\begin{array}{l}{\int }_{-\pi }^{\pi }\mathrm{sin}nx·\mathrm{cos}mxdx\\ ={\int }_{-\pi }^{\pi }\frac{1}{2}\left(\mathrm{sin}\left(mx+nx\right)-\mathrm{sin}\left(mx-nx\right)\right)dx\\ \mathrm{sin}xは奇関数より、\\ {\int }_{-\pi }^{\pi }\frac{1}{2}\left(\mathrm{sin}\left(mx+nx\right)-\mathrm{sin}\left(mx-nx\right)\right)dx=0\\ {\int }_{-\pi }^{\pi }\mathrm{sin}nx·\mathrm{cos}mxdx=0\end{array}$

5. $\begin{array}{l}A·X=0\\ A\ne Oと仮定する。\\ X=A\\ A\ne O\wedge A·A=0\\ となり、SP4が成り立たない。\\ よって矛盾。\\ A=O\end{array}$