数学 - 集合論 - 順序 - 順序を保つ写像(order preserving map)、単調写像

集合論入門

学習環境

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• Windows 10 Pro (OS)
• 数式入力ソフト(TeX, MathML): MathType
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• MathML非対応ブラウザ(Internet Explorer, Google Chrome...)用JavaScript Library: MathJax

集合論入門 (基礎数学シリーズ)(松村 英之(著)、朝倉書店)の3.(順序)、3.1(順序)の練習問題18.を取り組んでみる。

練習問題 18.

$\begin{array}{l}X=Y=\mathbb{N}\\ f:X\to Y\\ f\left(a\right)=a\\ a,b\in Xに対して、bがaで割り切れるとき、\\ a\le b\\ とする。\\ a,b\in Yに対して、通常の大小の意味で、\\ a\le \text{'}b\\ とする。\\ このとき、\\ x,x\text{'}\in X,x\le x\text{'}\Rightarrow f\left(x\right)\le f\left(x^{\prime }\right)\\ となり単調。\\ fは恒等写像で全単射。\\ f^{-1}も恒等写像で全単射。\\ 2,3\in Y,2\le \text{'}3\\ だが、f^{-1}\left(3\right)=3はf^{-1}\left(2\right)で割り切れないので、f^{-1}は単調ではない。\end{array}$

$\begin{array}{l}さらにXが全順序集合の場合。\\ y_1,y_2\in Y\\ \exists x_1,x_2\in X\left[f\left(x_1\right)=y_1,f\left(x_2\right)=y_2\right]\\ x_1\le x_2\Rightarrow y_1=f\left(x_1\right)\le f\left(x_2\right)=y_2\Rightarrow y_1\le y_2\\ x_2\le x_1\Rightarrow y_2=f\left(x_2\right)\le f\left(x_1\right)=y_2\Rightarrow y_2\le y_1\\ よってYも全順序集合。\\ \\ y_1,y_2\in Y,y_1\le y_2とする。\\ \exists 1x_1,x_2\in X\left[f\left(x_1\right)=y_1,f\left(x_2\right)=y_2\right]\\ f^{-1}\left(y_1\right)=x_1,f^{-1}\left(y_2\right)=x_2\\ x_2<x_1と仮定すると、\\ y_2=f\left(x_2\right)<f\left(x_1\right)=y_1\\ 矛盾。\\ よって、x_1\le x_2\\ 以上より、f^{-1}は単調写像。\end{array}$