数学 - 無限の世界への一歩 - 数列の極限、無限級数 – 無限級数 - 無限等比級数

数学読本〈4〉

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数学読本〈4〉数列の極限，無限級数/順列・組合せ/確率/関数の極限と微分法(松坂 和夫(著)、岩波書店)の第14章(無限の世界への一歩 - 数列の極限、無限級数)、14.3(無限級数)、無限等比級数、問21、22、23、24、25.を取り組んでみる。

21. 1. 
       発散
    2. 
       $\begin{array}{l}\left|r\right|=\frac{1}{5}<1\\ \underset{n\to \infty }{\lim }{S}_n=\frac{1}{1+\frac{1}{5}}=\frac{5}{6}\end{array}$
    3. 
       $\begin{array}{l}\left|r\right|=\frac{\sqrt{3}}{2}<1\\ \underset{n\to \infty }{\lim }{S}_n=\frac{2}{1-\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{4}{2-\sqrt{3}}=4\left(2+\sqrt{3}\right)\end{array}$
22. 1. 
       $\begin{array}{l}\frac{1}{1-r}=S\\ r=1-\frac{1}{S}=\frac{S-1}{S}\\ \\ \frac{1}{1+r}=\frac{1}{2-\frac{1}{S}}=\frac{S}{2S-1}\end{array}$
    2. 
       $\frac{1}{1-r^2}=\frac{S^2}{S^2-{\left(S-1\right)}^2}=\frac{S^2}{2S-1}$
23. 1. 
       $\begin{array}{l}\left|\frac{x}{3}\right|<1\\ \left|x\right|<3\\ \frac{1}{1-\frac{x}{3}}=\frac{3}{3-x}\end{array}$
    2. 
       $\begin{array}{l}\left|1-x\right|<1\\ 0<x<2\\ \frac{2}{1-\left(1-x\right)}=\frac{2}{x}\end{array}$
    3. 
       $\begin{array}{l}\left|1-x^2\right|<1\\ 0<x^2<2\\ 0<\left|x\right|<\sqrt{2}\\ \frac{x}{1-\left(1-x^2\right)}=\frac{1}{x}\end{array}$
24. 
    $\begin{array}{l}x=0\\ f\left(x\right)=0\\ \begin{array}{l}0<\left|\frac{1}{1+x^2}\right|<1\hfill \\ f\left(x\right)=\frac{1}{1-\frac{1}{1+x^2}}=\frac{1+x^2}{x^2}\hfill \end{array}\end{array}$
25. 
    $\begin{array}{l}{S}_n=\frac{1-\frac{1}{2^n}}{1-\frac{1}{2}}=2\left(1-\frac{1}{2^n}\right)\\ \underset{n\to \infty }{\lim }{S}_n=\frac{1}{1-\frac{1}{2}}=2\\ \frac{1}{2^{n-1}}<{10}^{-4}\\ 2^{n-1}>{10}^4\\ \left(n-1\right){\log }_{10}2>4\\ 0.3010n>4+0.3010\\ n>\frac{4}{0.3010}+1\\ n=15\end{array}$