数学 - 解析学 - 微分と基本的な関数 - 微分係数、導関数 - 和、積および商

解析入門 原書第3版
原著

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解析入門 原書第3版 (S.ラング(著)、松坂 和夫(翻訳)、片山 孝次(翻訳)、岩波書店)の第2部(微分と基本的な関数)、第3章(微分係数、導関数)、5(和、積および商)、練習問題1-18.を取り組んでみる。

練習問題1-18.

1. 
   $\frac{2}{3}{x}^{-\frac{2}{3}}$
2. 
   $55x^{10}$
3. 
   $-\frac{3}{8}{x}^{-\frac{7}{4}}$
4. 
   $21x^2+8x$
5. 
   $-25x^{-2}+6x^{-\frac{1}{2}}$
6. 
   $\frac{6}{5}x-16x^7$
7. 
   $\left(3x^2+1\right)\left(x-1\right)+\left(x^3+x\right)=4x^3-3x^2+2x-1$
8. 
   $4x\left(x^4+1\right)+\left(2x^2-1\right)·4x^3=12x^5-4x^3+4x$
9. 
   $\left(x^2+5x^{\frac{3}{2}}\right)+\left(x+1\right)\left(2x+\frac{15}{2}{x}^{\frac{1}{2}}\right)=3x^2+\frac{25}{2}{x}^{\frac{3}{2}}+2x$
10. 
    $2\left(3x^4+5x+2\right)+\left(2x-5\right)\left(12x^3+5\right)=30x^4-60x^3+20x-21$
11. 
    $\left(-\frac{2}{3}{x}^{-\frac{5}{3}}+2x\right)\left(x^3+\frac{1}{x}\right)+\left(x^{-\frac{2}{3}}+x^2\right)\left(3x^2-\frac{1}{x^2}\right)$
12. 
    $2\left(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{x}\right)+\left(2x+3\right)\left(-\frac{2x}{x^4}-\frac{1}{x^2}\right)$
13. 
    $\frac{2\left(x+5\right)-\left(2x+1\right)}{{\left(x+5\right)}^2}=\frac{9}{{\left(x+5\right)}^2}$
14. 
    $\frac{2\left(x^3+3x+1\right)-2x\left(2x+3\right)}{\left(x^2+3x+1\right)}$
15. 
    $\frac{\left(2t+2\right)\left(t+1\right)\left(t-1\right)-\left(t^2+2t-1\right)\left(\left(t-1\right)+\left(t+1\right)\right)}{{\left(t+1\right)}^2{\left(t-1\right)}^2}=\frac{2{\left(t+1\right)}^2\left(t-1\right)-2\left(t^2+2t-1\right)}{{\left(t+1\right)}^2{\left(t-1\right)}^2}$
16. 
    $\frac{-\frac{5}{4}{t}^{-\frac{9}{4}}-t^{-\frac{5}{4}}\left(2t+1\right)}{{\left(t^2+t-1\right)}^2}$
17. 
    $\begin{array}{l}y\text{'}=\frac{(t+5)-t}{{(t+5)}^2}=\frac{5}{{(t+5)}^2}\hfill \\ y=\frac{5}{49}t+b\hfill \\ y=\frac{2}{7}\hfill \\ \frac{2}{7}=\frac{5}{49}·2+b\hfill \\ b=\frac{14}{49}-\frac{5}{49}=\frac{9}{49}\hfill \\ y=\frac{5}{49}t+\frac{9}{49}\hfill \end{array}$
18. 
    $\begin{array}{l}y\text{'}=\frac{2t\left(t^2+1\right)-t^2·2t}{{\left(t^2+1\right)}^2}\\ y=\frac{1}{2}\\ y=\frac{4-2}{4}t+b\\ \frac{1}{2}=\frac{1}{2}+b\\ b=0\\ y=\frac{1}{2}t\end{array}$