数学 - 無限の世界への一歩 - 数列の極限、無限級数 – 極限の計算 - 極限の法則(2) - 極限値と不等式

数学読本〈4〉

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数学読本〈4〉数列の極限，無限級数/順列・組合せ/確率/関数の極限と微分法(松坂 和夫(著)、岩波書店)の第14章(無限の世界への一歩 - 数列の極限、無限級数)、14.2(極限の計算)、極限の法則(2) - 極限値と不等式、問8、9.を取り組んでみる。

8. 1. 
      $\begin{array}{l}-\frac{1}{n}\le \frac{1}{n}\cos n\theta \le \frac{1}{n}\\ \underset{n\to \infty }{\lim }-\frac{1}{n}\le \underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1}{n}\cos n\theta \le \underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1}{n}\\ 0\le \underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1}{n}\cos n\theta \le 0\\ \underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1}{n}\cos n\theta =0\end{array}$
   2. 
      $\begin{array}{l}-\frac{1}{n^2}\le \frac{1}{n^2}\sin 2n\theta \le \frac{1}{n^2}\\ \underset{n\to \infty }{\lim }-\frac{1}{n^2}\le \underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1}{n^2}\sin 2n\theta \le \underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1}{n^2}\\ 0\le \underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1}{n^2}\sin 2n\theta \le 0\\ \underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1}{n^2}\sin 2n\theta =0\end{array}$
   3. 
      $\begin{array}{l}-\frac{1}{n}\le \frac{1}{n}{\sin }^{2}2n\theta \le \frac{1}{n}\\ \underset{n\to \infty }{\lim }-\frac{1}{n}\le \underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1}{n}{\sin }^{2}2n\theta \le \underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1}{n}\\ 0\le \underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1}{n}{\sin }^{2}2n\theta \le 0\\ \underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1}{n}{\sin }^{2}2n\theta =0\end{array}$
   4. 
      $\begin{array}{l}-\frac{1}{n^2}\le \frac{1}{n^2}{\cos }^2\frac{n\pi }{3}\le \frac{1}{n^2}\\ \underset{n\to \infty }{\lim }-\frac{1}{n^2}\le \underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1}{n^2}{\cos }^2\frac{n\pi }{3}\le \underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1}{n^2}\\ 0\le \underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1}{n^2}{\cos }^2\frac{n\pi }{3}\le 0\\ \underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1}{n^2}{\cos }^2\frac{n\pi }{3}=0\end{array}$
9. 1. 
      $\begin{array}{l}\left|\left(x-y\right)+y\right|\le \left|x-y\right|+\left|y\right|\\ \left|x\right|-\left|y\right|\le \left|x-y\right|\\ \\ \left|\left(y-x\right)+x\right|\le \left|y-x\right|+\left|x\right|\\ -\left|y-x\right|\le \left|x\right|-\left|y\right|\\ -\left|x-y\right|\le \left|x\right|-\left|y\right|\\ -\left|x-y\right|\le \left|x\right|-\left|y\right|\le \left|x-y\right|\\ \\ \left|\left|x\right|-\left|y\right|\right|\le \left|x-y\right|\end{array}$
   2. 
      $\begin{array}{l}0\le \left|\left|a_n\right|-\left|\alpha \right|\right|\le \left|a_n-\alpha \right|\\ \underset{n\to \infty }{\lim }\left|a_n-\alpha \right|=0\\ \underset{n\to \infty }{\lim }\left|\left|a_n\right|-\left|\alpha \right|\right|=0\\ \underset{n\to \infty }{\lim }\left|a_n\right|=\left|\alpha \right|\end{array}$