数学 - 解析学 - 微分と基本的な関数 - 微分係数、導関数 - 導関数(累乗、絶対値、左微分係数、右微分係数)

解析入門 原書第3版
原著

学習環境

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解析入門 原書第3版 (S.ラング(著)、松坂 和夫(翻訳)、片山 孝次(翻訳)、岩波書店)の第2部(微分と基本的な関数)、第3章(微分係数、導関数)、2(導関数)、練習問題15を取り組んでみる。

練習問題15

1. 
   $\begin{array}{l}x\ge 0\\ f\left(x\right)=x^2\\ \underset{h\to 0,h>0}{\lim }\frac{f\left(h\right)-f\left(0\right)}{h}\\ =\underset{h\to 0,h>0}{\lim }\frac{h^2-0}{h}\\ =\underset{h\to 0,h>0}{\lim }h\\ =0\\ \\ x<0\\ f\left(x\right)=-x^2\\ \underset{h\to 0,h<0}{\lim }\frac{f\left(h\right)-f\left(0\right)}{h}\\ =\underset{h\to 0,h>0}{\lim }\frac{-h^2-0}{h}\\ =\underset{h\to 0,h>0}{\lim }-h\\ =0\\ \\ f\text{'}\left(0\right)=0\end{array}$
2. 
   $\begin{array}{l}x\ge 0\\ f\left(x\right)=x^3\\ \underset{h\to 0,h>0}{\lim }\frac{f\left(h\right)-f\left(0\right)}{h}\\ =\underset{h\to 0,h>0}{\lim }\frac{h^3-0}{h}\\ =\underset{h\to 0,h>0}{\lim }{h}^2\\ =0\\ \\ x<0\\ f\left(x\right)=-x^3\\ \underset{h\to 0,h<0}{\lim }\frac{f\left(h\right)-f\left(0\right)}{h}\\ =\underset{h\to 0,h>0}{\lim }\frac{-h^3-0}{h}\\ =\underset{h\to 0,h>0}{\lim }-h^2\\ =0\\ \\ f\text{'}\left(0\right)=0\end{array}$
3. 
   $\begin{array}{l}f\left(x\right)=x^{n-1}\left|x\right|\\ x\ge 0\\ f\left(x\right)=x^n\\ \underset{h\to 0,h>0}{\lim }\frac{f\left(h\right)-f\left(0\right)}{h}\\ =\underset{h\to 0,h>0}{\lim }\frac{h^n-0}{h}\\ =\underset{h\to 0,h>0}{\lim }{h}^{n-1}\\ =0\\ \\ x<0\\ f\left(x\right)=-x^n\\ \underset{h\to 0,h<0}{\lim }\frac{f\left(h\right)-f\left(0\right)}{h}\\ =\underset{h\to 0,h>0}{\lim }\frac{-h^n-0}{h}\\ =\underset{h\to 0,h>0}{\lim }-h^{n-1}\\ =0\\ \\ f\text{'}\left(0\right)=0\end{array}$