数学 - 解析学 - 微分と基本的な関数 - 微分係数、導関数 - べき

解析入門 原書第3版
原著

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解析入門 原書第3版 (S.ラング(著)、松坂 和夫(翻訳)、片山 孝次(翻訳)、岩波書店)の第2部(微分と基本的な関数)、第3章(微分係数、導関数)、4(べき)、練習問題1-8.を取り組んでみる。

練習問題1-8.

1. 
   $x^4+4h{x}^3+6h^2{x}^2+4h^{3}x+h^4$
2. 
   $\begin{array}{l}\underset{h\to 0}{\lim }\frac{{\left(x+h\right)}^4-x^4}{h}\\ =\underset{h\to 0}{\lim }\frac{4h{x}^3+6h^2{x}^2+4h^{3}x+h^4}{h}\\ =\underset{h\to 0}{\lim }\left(4x^3+6h{x}^2+4h^{2}x+h^3\right)\\ =4x^3\end{array}$
3. 1. 
      $\frac{2}{3}{x}^{\frac{1}{3}}$
   2. 
      $-\frac{3}{2}{x}^{-\frac{5}{2}}$
   3. 
      $\frac{7}{6}{x}^{\frac{1}{6}}$
4. 
   $\begin{array}{l}y\text{'}=9x^8\\ y=9x+b\\ 1=9+b\\ b=-8\\ y=9x-8\end{array}$
5. 
   $\begin{array}{l}y\text{'}=\frac{2}{3}{x}^{-\frac{1}{3}}\\ \frac{2}{3}{8}^{-\frac{1}{3}}=\frac{2}{3·2}=\frac{1}{3}\\ y=\frac{1}{3}x+b\\ 4=\frac{8}{3}+b\\ b=\frac{4}{3}\\ y=\frac{1}{3}x+\frac{4}{3}\end{array}$
6. 
   $\begin{array}{l}y\text{'}=-\frac{3}{4}{x}^{-\frac{7}{4}}\\ -\frac{3}{4}·{16}^{-\frac{7}{4}}=-\frac{3}{4·2^7}=-\frac{3}{2^9}\\ y={16}^{-\frac{3}{4}}=\frac{1}{8}\\ y=-\frac{3}{2^9}x+b\\ \frac{1}{8}=-\frac{3}{2^9}·16+b\\ b=\frac{1}{8}+\frac{3}{2^5}=\frac{7}{32}\\ y=-\frac{3}{2^9}x+\frac{7}{32}\end{array}$
7. 
   $\begin{array}{l}y\text{'}=\frac{1}{2}{x}^{-\frac{1}{2}}\\ \frac{1}{2\sqrt{3}}\\ y=\sqrt{3}\\ \sqrt{3}=\frac{1}{2\sqrt{3}}·3+b\\ b=\sqrt{3}-\frac{3}{2\sqrt{3}}=\sqrt{3}-\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}\\ y=\frac{1}{2\sqrt{3}}x+\frac{\sqrt{3}}{2}\end{array}$
8. 1. 
      $\begin{array}{l}f\text{'}\left(x\right)=\frac{1}{4}{x}^{-\frac{3}{4}}\\ f\text{'}\left(5\right)=\frac{5^{-\frac{3}{4}}}{4}\end{array}$
   2. 
      $\begin{array}{l}f\text{'}\left(x\right)=-\frac{1}{4}{x}^{-\frac{5}{4}}\\ f\text{'}\left(7\right)=-\frac{7^{-\frac{5}{4}}}{4}\end{array}$
   3. 
      $\begin{array}{l}f\text{'}\left(x\right)=\sqrt{2}{x}^{\sqrt{2}-1}\\ f\text{'}\left(10\right)=\sqrt{2}·{10}^{\sqrt{2}-1}\end{array}$
   4. 
      $\begin{array}{l}f\text{'}\left(x\right)=\pi x^{\pi -1}\\ f\text{'}\left(7\right)=\pi ·7^{\pi -1}\end{array}$