数学 - 「離散的」な世界 - 数列 – 数列とその和 - 数列の和と一般項

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数学読本〈3〉平面上のベクトル/複素数と数列とその和/空間図形/2次曲線/数列(松坂和夫(著)、岩波書店)の第13章(「離散的」な世界 - 数列)、13.1(数列とその和)、数列の和と一般項、問26.を取り組んでみる。

問26.

$\begin{array}{l} a_{1} = S_{1} = 3 \\ n > 1 \\ a_{n} = S_{n} - S_{n} \\ = 3^{n} - 3^{n - 1} \\ = 3^{n - 1} (3 - 1) \\ = 2 \cdot 3^{n - 1} \end{array}$
$\begin{array}{l} a_{1} = S_{1} = 0 \\ n > 1 \\ a_{n} = S_{n} - S_{n - 1} \\ = (n^{3} - n) - ({(n - 1)}^{3} - (n - 1)) \\ = n (n^{2} - 1) - (n - 1) ({(n - 1)}^{2} - 1) \\ = n (n + 1) (n - 1) - (n - 1) (n - 1 + 1) (n - 1 - 1) \\ = n (n - 1) ((n + 1) - (n - 2)) \\ = 3 n (n - 1) \\ a_{n} = 3 n (n - 1) \end{array}$

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