数学 - 「離散的」な世界 - 数列 – 数学的帰納法と数列 - 帰納的定義(階差数列と一般項)

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数学読本〈3〉平面上のベクトル/複素数と数学的帰納法と数列/空間図形/2次曲線/数列(松坂和夫(著)、岩波書店)の第13章(「離散的」な世界 - 数列)、13.2(数学的帰納法と数列)、数学的帰納法、問35.を取り組んでみる。

問35.

$\begin{array}{l} n > 1 \\ a_{n + 1} - a_{n} \\ = \frac{a_{n} + a_{n - 1}}{2} - a_{n} \\ = \frac{a_{n - 1} - a_{n}}{2} \\ = - \frac{1}{2} (a_{n} - a_{n - 1}) \\ b_{n} = (a_{2} - a_{1}) {(- \frac{1}{2})}^{n - 1} \\ = {(- \frac{1}{2})}^{n - 1} \\ {(- \frac{1}{2})}^{1 - 1} = 1 \\ b_{n} = {(- \frac{1}{2})}^{n - 1} \end{array}$
$\begin{array}{l} n > 1 \\ a_{n} = a_{1} + \sum_{i = 1}^{n - 1} {(- \frac{1}{2})}^{i - 1} \\ = 0 + \frac{(1 - {(- \frac{1}{2})}^{n - 1})}{1 + \frac{1}{2}} \\ = \frac{2}{3} (1 - {(- \frac{1}{2})}^{n - 1}) \\ \frac{2}{3} (1 - {(- \frac{1}{2})}^{1 - 1}) \\ = \frac{2}{3} (1 - 1) \\ = 0 \\ a_{n} = \frac{2}{3} (1 - {(- \frac{1}{2})}^{n - 1}) \end{array}$

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