数学 - 解析学 - 微分と基本的な関数 - 微分係数、導関数 - 導関数(左微分係数、右微分係数、微分係数の存在、絶対値)

解析入門 原書第3版
原著

学習環境

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解析入門 原書第3版 (S.ラング(著)、松坂 和夫(翻訳)、片山 孝次(翻訳)、岩波書店)の第2部(微分と基本的な関数)、第3章(微分係数、導関数)、2(導関数)、練習問題1-13を取り組んでみる。

練習問題1-13

$\begin{array}{l}\underset{h\to 0,h<0}{\lim }\frac{f\left(0+h\right)-f\left(0\right)}{h}\\ =\underset{h\to 0,h<0}{\lim }\frac{\left|0+h\right|+0+h}{h}\\ =\underset{h\to 0,h<0}{\lim }\frac{-h+h}{h}\\ =0\\ \\ \underset{h\to 0,h>0}{\lim }\frac{f\left(0+h\right)-f\left(0\right)}{h}\\ =\underset{h\to 0,h>0}{\lim }\frac{\left|0+h\right|+0+h}{h}\\ =\underset{h\to 0,h>0}{\lim }\frac{2h}{h}\\ =2\\ \\ 0\ne 2\\ \\ \\ x<0\\ \underset{h\to 0}{\lim }\frac{f\left(x+h\right)-f\left(x\right)}{h}\\ =\underset{h\to 0}{\lim }\frac{\left|x+h\right|+\left(x+h\right)-\left(\left|x\right|+x\right)}{h}\\ =\underset{h\to 0,h>0}{\lim }\frac{-x-h+x+h+x-x}{h}\\ =\underset{h\to 0,h>0}{\lim }\frac{-2h}{h}\\ =-2\\ f\text{'}\left(x\right)=-2\\ \\ \\ x>0\\ \underset{h\to 0}{\lim }\frac{\left|x+h\right|+\left(x+h\right)-\left(\left|x\right|+x\right)}{h}\\ =\underset{h\to 0}{\lim }\frac{x+h+x+h-x-x}{h}\\ =\underset{h\to 0}{\lim }\frac{2h}{h}\\ =2\\ f\text{'}\left(x\right)=2\end{array}$