数学 - 「離散的」な世界 - 数列 – 数列とその和 - 等差数列の和(色々な等差数列)

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数学読本〈3〉平面上のベクトル/複素数と数列とその和/空間図形/2次曲線/数列(松坂和夫(著)、岩波書店)の第13章(「離散的」な世界 - 数列)、13.1(数列とその和)、等差数列の和、問7、8、9、10、11.を取り組んでみる。

問7.

$\begin{array}{l} a_{n} = - 3 n + 27 \\ \frac{n (24 - 3 n + 27)}{2} = 105 \\ 3 n^{2} - 51 n + 210 = 0 \\ n^{2} - 17 n + 70 = 0 \\ (n - 7) (n - 10) = 0 \\ n = 7, 10 \end{array}$
$\begin{array}{l} - 3 n^{2} + 51 n \\ = - 3 (n^{2} - 17) \\ = - 3 {(n - \frac{17}{2})}^{2} + A \\ S_{n} = \frac{- 3 n (n - 17)}{2} \\ S_{8} = \frac{- 24 \cdot (- 9)}{2} = 108 \\ S_{9} = \frac{- 27 (- 8)}{2} = 108 \\ n = 8, 9 \end{array}$

問8

$\begin{array}{l} a_{n} = 95 + 5 n \\ 95 + 5 n = 995 \\ n = 180 \\ \frac{180 (100 + 995)}{2} = 90 \cdot 1095 = 98550 \end{array}$
$\begin{array}{l} a_{n} = 98 + 5 n \\ 98 + 5 n = 998 \\ n = 180 \\ \frac{180 (103 + 998)}{2} = 90 \cdot 1101 = 99090 \end{array}$

問9

2で割り切れる数の個数は500、5で割り切れる数の個数は200、2でも5でも割り切れる数(2と5の最小公倍数10の倍数)の個数は100。よって、2でも5でも割り切れない数の個数。

1000 - 500 - 200 + 100 = 400

総和。

\begin{array}{l} \frac{1000 \cdot 1001}{2} - \frac{500 \cdot 1002}{2} - \frac{200 \cdot 1005}{2} + \frac{100 \cdot 1010}{2} \\ = 500500 - 250500 - 100500 + 50500 \\ = 200000 \end{array}

問10

\begin{array}{l} b_{n} = 2 n - 1 \\ c_{n} = n \\ C_{n} = \frac{n (n + 1)}{2} \\ a = b_{C_{n - 1} + 1} = 2 (C_{n - 1} + 1) - 1 = (n - 1) n + 1 \\ S_{n} = \frac{n ((n - 1) n + 1 + ((n - 1) n + 1 + 2 (n - 1)))}{2} \\ = \frac{n ((n - 1) (2 n + 2) + 2)}{2} \\ = n ((n - 1) (n + 1) + 1) \\ = n^{3} \end{array}

問11

$a_{m} = \frac{m (m + 1)}{2}$
$b_{n} = 1 + (1 + 2 + \cdot \cdot \cdot + (n - 1)) = 1 + \frac{(n - 1) n}{2}$
$\begin{array}{l} a_{m + n - 2} = \frac{(m + n - 2) (m + n - 1)}{2} \\ \frac{(m + n - 2) (m + n - 1)}{2} + m \end{array}$
$\begin{array}{l} \frac{(m + n - 2) (m + n - 1)}{2} + m = 100 \\ (m + n - 2) (m + n - 1) + 2 m = 200 \\ 13 \cdot 14 = 182 \\ 14 \cdot 15 = 210 \\ m + n - 2 = 13 \\ m + n = 15 \\ 13 \cdot 14 + 2 m = 200 \\ 2 m = 18 \\ m = 9 \\ n = 6 \end{array}$

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