数学 - 集合と写像 - 添数づけられた族、一般の直積(色々な等式)

集合・位相入門

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集合・位相入門(松坂 和夫(著)、岩波書店)の第1章(集合と写像)、2(添数づけられた族、一般の直積)、問題5.を取り組んでみる。

問題5.

1. 
   $\begin{array}{l}x\in \left({\displaystyle \underset{\lambda \in \Delta }{\cup }{A}_{\lambda }}\right)\cap \left({\displaystyle \underset{\mu \in M}{\cup }{B}_{\lambda }}\right)\\ \iff x\in {\displaystyle \underset{\lambda \in \Delta }{\cup }{A}_{\lambda }}\wedge x\in {\displaystyle \underset{\mu \in M}{\cup }{B}_{\lambda }}\\ \iff \exists \lambda \in \Delta \left[x\in A_{\lambda }\right]\wedge \exists \mu \in M\left[x\in B_{\mu }\right]\\ \iff \exists \lambda \in \Delta \exists \mu \in M\left[x\in A_{\lambda }\cap B_{\mu }\right]\\ \iff x\in {\displaystyle \underset{\left(\lambda ,\mu \right)\in \Delta \times M}{\cup }\left(A_{\lambda }\cap B_{\mu }\right)}\end{array}$
2. 
   $\begin{array}{l}x\in \left({\displaystyle \underset{\lambda \in \Delta }{\cap }{A}_{\lambda }}\right)\cup \left({\displaystyle \underset{\mu \in M}{\cap }{B}_{\mu }}\right)\\ \iff x\in {\displaystyle \underset{\lambda \in \Delta }{\cap }{A}_{\lambda }}\vee x\in {\displaystyle \underset{\mu \in M}{\cap }{B}_{\mu }}\\ \iff \forall \lambda \in \Delta \left[x\in A_{\lambda }\right]\vee \forall \mu \in M\left[x\in B_{\mu }\right]\\ \iff \forall \lambda \in \Delta \forall \mu \in M\left[x\in A_{\lambda }\vee x\in B_{\mu }\right]\\ \iff \forall \lambda \in \Delta \forall \mu \in M\left[x\in A_{\lambda }\cup B_{\mu }\right]\\ \iff x\in {\displaystyle \underset{\left(\lambda ,\mu \right)\in \Delta \times M}{\cap }\left(A_{\lambda }\cup B_{\mu }\right)}\end{array}$
3. 
   $\begin{array}{l}\left(x,y\right)\in \left({\displaystyle \underset{\lambda \in \Delta }{\cup }{A}_{\lambda }}\right)\times \left({\displaystyle \underset{\mu \in M}{\cup }{B}_{\mu }}\right)\\ x\in {\displaystyle \underset{\lambda \in \Delta }{\cup }{A}_{\lambda }}\wedge y\in {\displaystyle \underset{\mu \in M}{\cup }{B}_{\mu }}\\ \exists \lambda \in \Delta \left[x\in A_{\lambda }\right]\wedge \exists \mu \in M\left[y\in B_{\mu }\right]\\ \exists \lambda \in \Delta \exists \mu \in M\left[\left(x,y\right)\in A_{\lambda }\times B_{\mu }\right]\\ \left(x,y\right)\in {\displaystyle \underset{\left(\lambda ,\mu \right)}{\cup }\left(A_{\lambda }\times B_{\mu }\right)}\end{array}$
4. 
   $\begin{array}{l}\left(x,y\right)\in \left({\displaystyle \underset{\lambda \in \Delta }{\cap }{A}_{\lambda }}\right)\times \left({\displaystyle \underset{\mu \in M}{\cap }{B}_{\mu }}\right)\\ x\in {\displaystyle \underset{\lambda \in \Delta }{\cap }{A}_{\lambda }}\wedge y\in {\displaystyle \underset{\mu \in M}{\cap }{B}_{\mu }}\\ \forall \lambda \in \Delta \left[x\in A_{\lambda }\right]\wedge \forall \mu \in M\left[y\in B_{\mu }\right]\\ \forall \lambda \in \Delta \forall \mu \in M\left[x\in A_{\lambda }\wedge y\in B_{\mu }\right]\\ \forall \lambda \in \Delta \forall \mu \in M\left[x\in A_{\lambda }\cap B_{\mu }\right]\\ \left(x,y\right)\in {\displaystyle \underset{\left(\lambda ,\mu \right)\in \Delta \times M}{\cap }\left(A_{\lambda }\cap B_{\mu }\right)}\end{array}$