数学 - 立体的な広がりの中の図形 - 空間図形 – 直線・平面・球の方程式(球面と平面)

数学読本〈3〉

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数学読本〈3〉平面上のベクトル/複素数と直線・平面・球の方程式/空間図形/2次曲線/数列 (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第11章(立体的な広がりの中の図形 - 空間図形)、11.3(直線・平面・球の方程式)、球面と平面、問43、44、45、46.を取り組んでみる。

問43.

1. 
   $3x-4y-5z=50$
2. 
   $\begin{array}{l}{x}_0=t,y_0=2t,z_0=2t\\ t^2+4t^2+4t^2=50\\ 9t^2=50\\ t=\pm \frac{5\sqrt{2}}{3}\\ \left(x\pm \frac{5\sqrt{2}}{3}\right)+2\left(y\pm \frac{10\sqrt{2}}{3}\right)+2\left(z\pm \frac{10\sqrt{2}}{3}\right)=0\\ x+2y+2z=\pm \frac{45\sqrt{2}}{3}\\ x+2y+2z=\pm 15\sqrt{2}\end{array}$

問44

$\begin{array}{l}9-12t+4t^2+4-4t+t^2+25-20t+4t^2=38\\ 9t^2-36t=0\\ t\left(t-4\right)=0\\ t=0,4\\ \left(-3,2,-5\right),\left(5,-2,3\right)\\ -3x+2y-5z=38\\ 5x-2y+3z=38\end{array}$

問45

1. 
   $\begin{array}{l}d=\frac{6}{\sqrt{3}}=2\sqrt{3}\\ \sqrt{12+36}=4\sqrt{3}\end{array}$
2. 
   $\begin{array}{l}d=\frac{9}{\sqrt{3}}=3\sqrt{3}\\ \sqrt{27+36}=3\sqrt{7}\end{array}$
3. 
   $\begin{array}{l}\frac{\left|k\right|}{\sqrt{3}}=4\sqrt{3}\\ \left|k\right|=12\\ k=\pm 12\end{array}$

問46

1. 
   $\begin{array}{l}C\left(3,-1,7\right)\\ D\left(x_0,y_0,z_0\right)\\ \left(2,-3,6\right)t=\left(x_0-3,y_0+1,z_0-7\right)\\ x_0=2t+3\\ y_0=-3t-1\\ z_0=6t+7\\ 2\left(2t+3\right)-3\left(-3t-1\right)+6\left(6t+7\right)-2=0\\ 49t=-49\\ t=-1\\ x_0=1,y_0=2,z_0=1\\ D\left(1,2,1\right)\end{array}$
2. 
   $CD=\sqrt{4+9+36}=7>4=\sqrt{16}$
3. 
   $\begin{array}{l}7-4=3\\ \frac{3\left(3,-1,7\right)+4\left(1,2,1\right)}{4+3}=\left(\frac{13}{7},\frac{5}{7},\frac{25}{7}\right)\end{array}$