数学 - 2次曲線と直線 - 2次曲線 – 2次曲線と直線(楕円・双曲線と直線(楕円、接線の傾き、直交))

数学読本〈3〉

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数学読本〈3〉平面上のベクトル/複素数と2次曲線と直線/空間図形/2次曲線/数列 (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第12章(2次曲線と直線 - 2次曲線)、12.2(2次曲線と直線)、楕円・双曲線と直線、問23.を取り組んでみる。

問23.

1. 
   $\begin{array}{l}\frac{D}{4}=a^4{m}^2{\left(m{x}_0-y_0\right)}^2-\left(a^2{m}^2+b^2\right)a^2\left({\left(m{x}_0-y_0\right)}^2-b^2\right)=0\\ a^2{m}^2{a}^2{b}^2-a^2{b}^2\left({\left(m{x}_0-y_0\right)}^2-b^2\right)=0\\ \left(a^4{b}^2-a^2{b}^2{x}_0{}^2\right)m^2+2a^2{b}^2{x}_0{y}_{0}m-a^2{b}^2{y}_0{}^2+a^2{b}^4=0\\ \left(a^2-x_0{}^2\right)m^2+2x_0{y}_{0}m-y_0{}^2+b^2=0\\ \left(a^2-x_0{}^2\right)m^2+2x_0{y}_{0}m+\left(b^2-y_0{}^2\right)=0\end{array}$
2. 
   $\begin{array}{l}{x}_0{}^2+y_0{}^2=a^2+b^2\\ b^2=x_0{}^2+y_0{}^2-a^2\\ m_1{m}_2=\frac{b^2-y_0{}^2}{a^2-x_0{}^2}\\ =\frac{x_0{}^2+y_0{}^2-a^2-y_0{}^2}{a^2-x_0{}^2}\\ =-1\end{array}$