数学 - 2次曲線と直線 - 2次曲線 – 2次曲線と直線(楕円・双曲線と直線、共有点の個数、最大値と最小値)

数学読本〈3〉

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数学読本〈3〉平面上のベクトル/複素数と2次曲線と直線/空間図形/2次曲線/数列 (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第12章(2次曲線と直線 - 2次曲線)、12.2(2次曲線と直線)、楕円・双曲線と直線、問18、19.を取り組んでみる。

問18.

$\begin{array}{l}\frac{x^2}{2}-{\left(mx+1\right)}^2=1\\ x^2-2\left(m^2{x}^2+2mx+1\right)=2\\ \left(1-2m^2\right)x^2-4mx-4=0\\ 1-2m^2=0\\ m^2=\frac{1}{2}\\ \frac{D}{4}=4m^2+4\left(1-2m^2\right)\\ =4\left(1-m^2\right)\\ 0個\left(\left|m\right|>1\right)\\ 1個\left(\left|m\right|=1,\frac{1}{\sqrt{2}}\right)\\ 2個\left(\left|m\right|<\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}}<\left|m\right|<1\right)\\ 接するとき。\\ m=1,\left(-2,-1\right)\\ m=-1,\left(2,-1\right)\end{array}$

問19.

$\begin{array}{l}\frac{x^2}{\frac{9}{2}}+\frac{y^2}{9}\le 1\\ k=4x+y\\ y=-4x+k\\ 2x^2+{\left(-4x+k\right)}^2=9\\ 2x^2+16x^2-8kx+k^2-9=0\\ 18x^2-8kx+k^2-9=0\\ \frac{D}{4}=16k^2-18\left(k^2-9\right)\\ =2\left(-k^2+9^2\right)\\ =-2\left(k+9\right)\left(k-9\right)\\ k=\pm 9\\ x=\pm \frac{36}{18}=\pm 2\\ y=-4·(\pm )\pm 9=1,-1\\ 最大値9、点\left(2,1\right)\\ 最小値-9、点\left(-2,-1\right)\end{array}$