数学 – 代数学 - 整数 - 素数、素因数分解(合成数、平方根)

代数系入門

学習環境

• Surface 3 (4G LTE)、Surface 3 タイプ カバー、Surface ペン(端末)
• Windows 10 Pro (OS)
• 数式入力ソフト(TeX, MathML): MathType
• MathML対応ブラウザ: Firefox、Safari
• MathML非対応ブラウザ(Internet Explorer, Google Chrome...)用JavaScript Library: MathJax

代数系入門 (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第1章(整数)、5(素数、素因数分解)、問題1-a、b.を取り組んでみる。

問題1.

1. 
   $\begin{array}{l}合成数\text{a}が\sqrt{\text{a}}をこえない約数\ne 1をもたないと仮定する。\\ \text{a}の最小の約数を\text{m}とすると、\\ \sqrt{a}<m<a\\ で、\\ mn=a\\ となる\text{n}が存在する。\\ n|a\\ また、\text{m}は\text{a}の最小の約数なので、\\ \sqrt{a}<m\le n\\ よって、\\ \sqrt{a}\sqrt{a}<mn\\ a<mn\\ \text{a=mn}と矛盾。\end{array}$
2. 
   $\begin{array}{l}合成数\text{b}が残っていると仮定。\\ \sqrt{N}<b\le N\\ \text{b}は\sqrt{b}をこえない約数\ne 1をもち、それを\text{c}とすると、\\ c|b\\ c\le \sqrt{b}\le \sqrt{N}<b\\ \text{c}の素因数分解を\\ c=p_1^{{\alpha }_1}···p_n{}^{{\alpha }_n}\\ とすると、\\ p_1\le \sqrt{N}\\ p_1|c\\ p_1|b\\ となり、\text{b}は\sqrt{\text{N}}をこえない素数の倍数となり矛盾。\end{array}$