数学 – Python - 集合と写像 - 集合の間の演算(集合の相等)

集合・位相入門

学習環境

Surface 3 (4G LTE)、Surface 3 タイプカバー、Surface ペン(端末)
Windows 10 Pro (OS)
数式入力ソフト(TeX, MathML): MathType
MathML対応ブラウザ: Firefox、Safari
MathML非対応ブラウザ(Internet Explorer, Google Chrome...)用JavaScript Library: MathJax

集合・位相入門(松坂和夫(著)、岩波書店)の第1章(集合と写像)、2(集合の間の演算)、問題4.を取り組んでみる。

問題4.

$\begin{array}{l} x \in A - (B \cup C) \\ \Leftrightarrow x \in A \land x \notin B \cup C \\ \Leftrightarrow x \in A \land (x \notin B \land x \notin C) \\ \Leftrightarrow (x \in A \cap B^{c}) \land (x \in A \cap C^{c}) \\ \Leftrightarrow x \in (A - B) \cap (A - C) \end{array}$
$\begin{array}{l} x \in A - (B \cap C) \\ \Leftrightarrow x \in A \land x \notin B \cap C \\ \Leftrightarrow x \in A \land (x \in B^{c} \lor x \in C^{c}) \\ \Leftrightarrow x \in A \cap B^{c} \lor x \in A \cap C^{c} \\ \Leftrightarrow x \in A - B \lor x \in A - C \\ \Leftrightarrow x \in (A - B) \cup (A - C) \end{array}$
$\begin{array}{l} x \in (A \cup B) - C \\ \Leftrightarrow x \in (A \cup B) \land x \in C^{c} \\ \Leftrightarrow (x \in A \lor x \in B) \land x \in C^{c} \\ \Leftrightarrow (x \in A \land x \in C^{c}) \lor (x \in B \land x \in C^{c}) \\ \Leftrightarrow x \in (A - C) \lor x \in (B - C) \\ \Leftrightarrow x \in (A - C) \cup (B - C) \end{array}$
$\begin{array}{l} x \in (A \cap B) - C \\ \Leftrightarrow x \in A \cap B \land x \in C^{c} \\ \Leftrightarrow (x \in A \land x \in B) \land x \in C^{c} \\ \Leftrightarrow (x \in A \land x \in C^{c}) \land (x \in B \land x \in C^{c}) \\ \Leftrightarrow x \in A - C \land x \in B - C \\ \Leftrightarrow x \in (A - C) \cap (B - C) \end{array}$
$\begin{array}{l} x \in A \cap (B - C) \\ \Leftrightarrow x \in A \land x \in B \land x \in C^{c} \\ \Leftrightarrow x \in A \cap B \land x \in C^{c} \\ \Leftrightarrow (x \in A \land x \in B) \land x \in C^{c} \\ \Leftrightarrow (x \in A \land x \in B) \land (x \in A^{c} \lor x \in C^{c}) \\ \Leftrightarrow x \in A \cap B \land x \notin A \cap C \\ \Leftrightarrow x \in (A \cap B) - (A \cap C) \end{array}$

コード(Emacs)

python 3.5

#!/usr/bin/env python3
# -*- coding: utf-8 -*-

from matplotlib_venn import venn3_unweighted
import matplotlib.pyplot as plt
import sympy

a = sympy.FiniteSet(*range(15))
b = sympy.FiniteSet(*range(5, 20))
c = sympy.FiniteSet(*range(10, 25))

print('a')
print(a - (b | c) == (a - b) & (a - c))

print('b')
print(a - (b & c) == (a - b) | (a - c))

print('c')
print((a | b) - c == (a - c) | (b - c))

print('d')
print((a & b) - c == (a - c) & (b - c))

print('e')
print(a & (b - c) == (a & b) - (a & c))

plt.figure(figsize=(6, 6))
venn3_unweighted(subsets=(a, b, c), set_labels=('A', 'B', 'C'))
plt.savefig('sample4.svg')
plt.show()

入出力結果(Terminal, IPython)

$ ./sample4.py
a
True
b
True
c
True
d
True
e
True
$

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2016年9月29日木曜日

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