数学 – Python - 集合と写像 - 集合の間の演算(差)

集合・位相入門

学習環境

Surface 3 (4G LTE)、Surface 3 タイプカバー、Surface ペン(端末)
Windows 10 Pro (OS)
数式入力ソフト(TeX, MathML): MathType
MathML対応ブラウザ: Firefox、Safari
MathML非対応ブラウザ(Internet Explorer, Google Chrome...)用JavaScript Library: MathJax

集合・位相入門(松坂和夫(著)、岩波書店)の第1章(集合と写像)、2(集合の間の演算)、問題3.を取り組んでみる。

問題3.

$\begin{array}{l} x \in A - B \\ \Rightarrow x \in A \land x \notin B \\ \Rightarrow x \in A \cup B \land x \notin B \\ \Rightarrow x \in (A \cup B) - B \\ \Rightarrow x \in A \land x \notin B \\ \Rightarrow x \in A \land x \notin B \cap A \\ \Rightarrow x \in A - (A \cap B) \\ \Rightarrow x \in A \land x \notin A \cap B \\ \Rightarrow x \in A \land (x \in A^{c} \lor x \in B^{c}) \\ \Rightarrow x \in A \land x \in B^{c} \\ \Rightarrow x \in A \cap B^{c} \\ \Rightarrow x \in A \land x \in B^{c} \\ \Rightarrow x \in A - B \end{array}$
$\begin{array}{l} A - B = A \\ \Leftrightarrow ((x \in A - B \Rightarrow x \in A) \land (x \in A \Rightarrow x \in A - B)) \\ \Leftrightarrow ((x \in A - B \Rightarrow x \in A) \land (x \in A \Rightarrow x \in A - B)) \\ \Leftrightarrow (((x \in A \land x \in B^{c}) \Rightarrow x \in A) \land (x \in A \Rightarrow (x \in A \land x \in B^{c}))) \\ \Leftrightarrow (((x \in A \land x \in B^{c}) \Rightarrow x \in A) \land (x \in A \Rightarrow (x \in A \land x \in B^{c}))) \\ \Leftrightarrow (x \in A \Rightarrow (x \in A \land x \in B^{c})) \\ \Leftrightarrow (x \in A^{c} \lor x \in B^{c}) \\ \Leftrightarrow (x \in A \cap B \Rightarrow x \in ϕ) \\ \Leftrightarrow ((x \in A \cap B \Rightarrow x \in ϕ) \land (x \in ϕ \Rightarrow x \in A \cap B)) \\ \Leftrightarrow A \cap B = ϕ \end{array}$
$\begin{array}{l} A - B = ϕ \\ \Leftrightarrow ((x \in A - B \Rightarrow x \in ϕ) \land (x \in ϕ \Rightarrow x \in A - B)) \\ \Leftrightarrow (((x \in A \land x \in B^{c}) \Rightarrow x \in ϕ) \land (x \in ϕ \Rightarrow (x \in A \land x \in B^{c}))) \\ \Leftrightarrow ((x \in A \land x \in B^{c}) \Rightarrow x \in ϕ) \\ \Leftrightarrow x \notin A \lor x \in B \\ \Leftrightarrow (x \in A \Rightarrow x \in B) \\ \Leftrightarrow A \subset B \end{array}$

コード(Emacs)

python 3.5

#!/usr/bin/env python3
# -*- coding: utf-8 -*-

from matplotlib_venn import venn2
import matplotlib.pyplot as plt
import sympy

x = sympy.FiniteSet(*range(15))
a = sympy.FiniteSet(*range(10))
b = sympy.FiniteSet(*range(5, 15))

print('a')
for s in [a - b, (a | b) - b, a - (a & b), a & (x - b)]:
    print(s)

plt.figure(figsize=(5, 5))
venn2(subsets=(a, b), set_labels=('A', 'B'))
plt.savefig('sample3_a.png')
plt.show()

print('b')
a = sympy.FiniteSet(*range(5))
b = sympy.FiniteSet(*range(5, 10))
print(a - b, a, a & b, sep='\n')

plt.figure(figsize=(5, 5))
venn2(subsets=(a, b), set_labels=('A', 'B'))
plt.savefig('sample3_b.png')
plt.show()

print('c')
a = sympy.FiniteSet(*range(5))
b = sympy.FiniteSet(*range(10))
print(a, b, a - b, a.is_subset(b), sep='\n')

plt.figure(figsize=(5, 5))
venn2(subsets=(a, b), set_labels=('A', 'B'))
plt.savefig('sample3_c.png')
plt.show()

入出力結果(Terminal, IPython)

$ ./sample3.py
a
{0, 1, 2, 3, 4}
{0, 1, 2, 3, 4}
{0, 1, 2, 3, 4}
{0, 1, 2, 3, 4}
b
{0, 1, 2, 3, 4}
{0, 1, 2, 3, 4}
EmptySet()
c
{0, 1, 2, 3, 4}
{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
EmptySet()
True
$

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2016年9月28日水曜日

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