数学 – 整数 - 数学的帰納法と除法の定理(凸関数、凹関数) | Kamimura's blog

2016年9月19日月曜日

数学 – 整数 - 数学的帰納法と除法の定理(凸関数、凹関数)

代数系入門

学習環境

Surface 3 (4G LTE)、Surface 3 タイプカバー、Surface ペン(端末)
Windows 10 Pro (OS)
数式入力ソフト(TeX, MathML): MathType
MathML対応ブラウザ: Firefox、Safari
MathML非対応ブラウザ(Internet Explorer, Google Chrome...)用JavaScript Library: MathJax

代数系入門 (松坂和夫(著)、岩波書店)の第1章(整数)、2(数学的帰納法と除法の定理)、問題6.を取り組んでみる。

問題6.

\begin{array}{l} a_{1}, a_{2}, \cdot \cdot \cdot, a_{n - 1} \\ t_{1} + t_{2} + \cdot \cdot \cdot + t_{n + 1} = 1, t_{1} \geq 0, t_{2} \geq 0, \cdot \cdot \cdot, t_{n + 1} \geq 0 \\ t_{n + 1} = 1 \\ t_{1} = 0, t_{2} = 0, \cdot \cdot \cdot, t_{n} = 0 \\ f (t_{1} a_{1} + t_{2} a_{2} + \cdot \cdot \cdot + t_{n + 1} a_{n + 1}) \\ = f (a_{n + 1}) \\ = t_{n + 1} f (a_{n + 1}) \\ = t_{1} f (a_{1}) + t_{2} f (a_{2}) + \cdot \cdot \cdot + t_{n + 1} f (a_{n + 1}) \\ \leq t_{1} f (a_{1}) + t_{2} f (a_{2}) + \cdot \cdot \cdot + t_{n + 1} f (a_{n + 1}) \\ t_{n + 1} \neq 1 \\ 0 \leq t_{n + 1} < 1 \\ t_{1} + t_{2} + \cdot \cdot \cdot + t_{n} = 1 - t_{n + 1} \\ \frac{t_{1}}{1 - t_{n + 1}} + \frac{t_{2}}{1 - t_{n + 1}} + \cdot \cdot \cdot + \frac{t_{n}}{1 - t_{n + 1}} = 1 \\ \frac{t_{i}}{1 - t_{n + 1}} \geq 0 \\ f (\frac{t_{1}}{1 - t_{n + 1}} a_{1} + \frac{t_{2}}{1 - t_{n + 1}} a_{2} + \cdot \cdot \cdot + \frac{t_{n}}{1 - t_{n + 1}} a_{n}) \\ \leq \frac{t_{1}}{1 - t_{n + 1}} f (a_{1}) + \frac{t_{2}}{1 - t_{n + 1}} f (a_{2}) + \cdot \cdot \cdot + \frac{t_{n}}{1 - t_{n + 1}} f (a_{n}) \\ f (\frac{t_{1}}{1 - t_{n + 1}} a_{1} + \frac{t_{2}}{1 - t_{n + 1}} a_{2} + \cdot \cdot \cdot + \frac{t_{n}}{1 - t_{n + 1}} a_{n}) + \frac{t_{n + 1}}{1 - t_{n + 1}} f (a_{n + 1}) \\ \leq \frac{t_{1}}{1 - t_{n + 1}} f (a_{1}) + \frac{t_{2}}{1 - t_{n + 1}} f (a_{2}) + \cdot \cdot \cdot + \frac{t_{n}}{1 - t_{n + 1}} f (a_{n}) + \frac{t_{n + 1}}{1 - t_{n + 1}} f (a_{n + 1}) \\ f (\frac{t_{1}}{1 - t_{n + 1}} a_{1} + \frac{t_{2}}{1 - t_{n + 1}} a_{2} + \cdot \cdot \cdot + \frac{t_{n}}{1 - t_{n + 1}} a_{n}) (1 - t_{n + 1}) + t_{n + 1} f (a_{n + 1}) \\ \leq t_{1} f (a_{1}) + t_{2} f (a_{2}) + \cdot \cdot \cdot + t_{n + 1} f (a_{n + 1}) \\ f (\frac{t_{1}}{1 - t_{n + 1}} a_{1} + \frac{t_{2}}{1 - t_{n + 1}} a_{2} + \cdot \cdot \cdot + \frac{t_{n}}{1 - t_{n + 1}} a_{n}) (1 - t_{n + 1}) + t_{n + 1} f (a_{n + 1}) \\ \geq f ((1 - t_{n + 1}) (\frac{t_{1}}{1 - t_{n + 1}} a_{1} + \frac{t_{2}}{1 - t_{n + 1}} a_{2} + \cdot \cdot \cdot + \frac{t_{n}}{1 - t_{n + 1}} a_{n}) + t_{n + 1} a_{n + 1}) \\ = f (t_{1} f (a_{1}) + t_{2} f (a_{2}) + \cdot \cdot \cdot + t_{n} f (a_{n}) + t_{n + 1} a_{n + 1}) \\ f (t_{1} f (a_{1}) + t_{2} f (a_{2}) + \cdot \cdot \cdot + t_{n + 1} a_{n + 1}) \leq t_{1} f (a_{1}) + t_{2} f (a_{2}) + \cdot \cdot \cdot + t_{n + 1} f (a_{n + 1}) \end{array}

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