数学 – 整数 - 数学的帰納法と除法の定理(帰納法の第2形式の証明、整列生)

代数系入門

学習環境

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代数系入門 (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第1章(整数)、2(数学的帰納法と除法の定理)、問題1.を取り組んでみる。

問1.

$\begin{array}{l}S\text{'}=\mathbb{N}-S\\ S\text{'}\ne \varphi と仮定。\\ 整列性により、\text{S'}は最小元{\text{n}}_{\text{0}}をもつ。\\ \text{(1)}よりn_0>0\\ 0\le k<n_0を満たすすべての自然数は\text{S}の元。\\ \text{(2)}より、n_0\in Sとなるが、これは矛盾。\end{array}$