数学 - 線型代数 - 線型写像(線型写像の空間、線型写像の行列、右、左分配律) | Kamimura's blog

2016年8月13日土曜日

数学 - 線型代数 - 線型写像(線型写像の空間、線型写像の行列、右、左分配律)

線型代数入門

学習環境

Surface 3 (4G LTE)、Surface 3 タイプカバー、Surface ペン(端末)
Windows 10 Pro (OS)
数式入力ソフト(TeX, MathML): MathType
MathML対応ブラウザ: Firefox、Safari
MathML非対応ブラウザ(Internet Explorer, Google Chrome...)用JavaScript Library: MathJax

線型代数入門 (松坂和夫(著)、岩波書店)の第3章(線型写像)、8(線型写像の空間)、問5.を取り組んでみる。

問5.

\begin{array}{l} B (A + A^{'}) \\ = (\sum_{k = 1}^{m} b_{i k} (a_{k j} + a'_{k j})) \\ = (\sum_{k = 1}^{m} (b_{i k} a_{k j} + b_{i k} a'_{k j})) \\ = (\sum_{k = 1}^{m} b_{i k} a_{k j} + \sum_{k = 1}^{m} b_{i k} a'_{k j}) \\ = B A + B A' \\ (B + B') A \\ = (\sum_{k = 1}^{m} (b_{i k} + b'_{i k}) a_{k j}) \\ = (\sum_{k = 1}^{m} (b_{i k} a_{k j} + b'_{i k} a_{k j})) \\ = (\sum_{k = 1}^{m} b_{i k} a_{k j} + \sum_{k = 1}^{m} b'_{i k} a_{k j}) \\ = B A + B' A \\ B (c A) \\ = (\sum_{k = 1}^{m} b_{i k} (c a_{k j})) \\ = (\sum_{k = 1}^{m} (c b_{i k}) a_{k j}) \\ = c (\sum_{k = 1}^{m} b_{i k} a_{k j}) \\ B (c A) = (c B) A = c (A B) \end{array}

\begin{array}{l} A = (\begin{matrix} a_{11} & \dots & a_{1 n} \\ ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ a_{m 1} & \dots & a_{m n} \end{matrix}), A' = (\begin{matrix} a'_{11} & \dots & a'_{1 n} \\ ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ a'_{m 1} & \dots & a'_{m n} \end{matrix}) \\ B = (\begin{matrix} b_{11} & \dots & b_{1 m} \\ ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ b_{l 1} & \dots & b_{l m} \end{matrix}), B' = (\begin{matrix} b'_{11} & \dots & b'_{1 m} \\ ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ b'_{l 1} & \dots & b'_{l m} \end{matrix}) \\ B (A + A') \\ = (\begin{matrix} b_{11} & \dots & b_{1 m} \\ ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ b_{l 1} & \dots & b_{l m} \end{matrix}) (\begin{matrix} a_{11} + a'_{11} & \dots & a_{1 n} + a'_{1 n} \\ ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ a_{m 1} + a'_{m 1} & \dots & a_{m n} + a'_{m n} \end{matrix}) \\ = (\begin{matrix} b_{11} (a_{11} + a'_{11}) + \dots + b_{1 m} (a_{m 1} + a'_{m 1}) & \dots & b_{11} (a_{1 n} + a'_{1 n}) + \dots + b_{1 m} (a_{m n} + a'_{m n}) \\ ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ b_{l 1} (a_{11} + a'_{11}) + \dots + b_{l m} (a_{m 1} + a'_{m 1}) & \dots & b_{l 1} (a_{1 n} + a'_{1 n}) + \dots + b_{l m} (a_{m n} + a'_{m n}) \end{matrix}) \\ = (\begin{matrix} b_{11} a_{11} + b_{11} a'_{11} + \dots + b_{1 m} a_{m 1} + b_{1 m} a'_{m 1} & \dots & b_{11} a_{1 n} + b_{11} a'_{1 n} + \dots + b_{1 m} a_{m n} + b_{1 m} a'_{m n} \\ ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ b_{l 1} a_{11} + b_{l 1} a'_{11} + \dots + b_{l m} a_{m 1} + b_{l m} a'_{m 1} & \dots & b_{l 1} a_{1 n} + b_{l 1} a'_{1 n} + \dots + b_{l m} a_{m n} + b_{l m} a'_{m n} \end{matrix}) \\ = (\begin{matrix} b_{11} a_{11} + \dots + b_{1 m} a_{m 1} + b_{11} a'_{11} + \dots + b_{1 m} a'_{m 1} & \dots & b_{11} a_{1 n} + \dots + b_{1 m} a_{m n} + b_{11} a'_{1 n} + \dots + b_{1 m} a'_{m n} \\ ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ b_{l 1} a_{11} + \dots + b_{l m} a_{m 1} + b_{l 1} a'_{11} + \dots + b_{l m} a'_{m 1} & \dots & b_{l 1} a_{1 n} + \dots + b_{l m} a_{m n} + b_{l 1} a'_{1 n} + \dots + b_{l m} a'_{m n} \end{matrix}) \\ = (\begin{matrix} b_{11} a_{11} + \dots + b_{1 m} a_{m 1} & \dots & b_{11} a_{1 n} + \dots + b_{1 m} a_{m n} \\ ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ b_{l 1} a_{11} + \dots + b_{l m} a_{m 1} & \dots & b_{l 1} a_{1 n} + \dots + b_{l m} a_{m n} \end{matrix}) + (\begin{matrix} b_{11} a'_{11} + \dots + b_{1 m} a'_{m 1} & \dots & b_{11} a'_{1 n} + \dots + b_{1 m} a'_{m n} \\ ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ b b_{l 1} a'_{11} + \dots + b_{l m} a'_{m 1} & \dots & b_{l 1} a'_{1 n} + \dots + b_{l m} a'_{m n} \end{matrix}) \\ = B A + B A' \end{array}

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