数学 – 図形と代数の交錯する世界 - 平面上のベクトル – (平行四辺形の面積と三角形の面積)

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数学読本〈3〉平面上のベクトル/複素数と複素平面/空間図形/2次曲線/数列 (松坂和夫(著)、岩波書店)の第9章(図形と代数の交錯する世界 - 平面上のベクトル)、9.1(ベクトルとその演算)、平行四辺形の面積、問21、22.を取り組んでみる。

問21.

$| 5 \cdot 3 - 1 \cdot (- 4) | = 19$
$| 1 \cdot (- 2) - 8 \cdot 7 | = 58$
$\begin{array}{l} {| \vec{a} - \vec{b} |}^{2} = 64 \\ (\vec{a} - \vec{b}) \cdot (\vec{a} - \vec{b}) = 64 \\ \vec{a} \cdot \vec{a} - 2 \vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{b} = 64 \\ {| \vec{a} |}^{2} - 2 \vec{a} \cdot \vec{b} + {| \vec{b} |}^{2} = 64 \\ \vec{a} \cdot \vec{b} = 6 \\ S = | \vec{a} | | \vec{b} | \sin θ \\ S^{2} = {| \vec{a} |}^{2} {| \vec{b} |}^{2} \sin^{2} θ \\ = {| \vec{a} |}^{2} {| \vec{b} |}^{2} (1 - \cos^{2} θ) \\ = {| \vec{a} |}^{2} {| \vec{b} |}^{2} - {| \vec{a} |}^{2} {| \vec{b} |}^{2} \cos^{2} θ \\ S = \sqrt{{| \vec{a} |}^{2} {| \vec{b} |}^{2} - (\vec{a} \cdot \vec{b})} \\ = \sqrt{16 \cdot 36 - 36} \\ = 6 \sqrt{15} \end{array}$

問22.

$\frac{1}{2} | 3 \cdot (- 2) - 4 \cdot 1 | = 5$
$\begin{array}{l} \vec{a} = (- 3, 2) \\ \vec{b} = (1, 5) \\ \frac{1}{2} | (- 3) \cdot 5 - 2 \cdot 1 | = \frac{17}{2} \end{array}$

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