数学 – 図形と代数の交錯する世界 - 平面上のベクトル – (内積を成分で表すこと, 内積の性質) | Kamimura's blog

2016年7月28日木曜日

数学 – 図形と代数の交錯する世界 - 平面上のベクトル – (内積を成分で表すこと, 内積の性質)

数学読本〈3〉

学習環境

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数学読本〈3〉平面上のベクトル/複素数と複素平面/空間図形/2次曲線/数列 (松坂和夫(著)、岩波書店)の第9章(図形と代数の交錯する世界 - 平面上のベクトル)、9.1(ベクトルとその演算)、内積を成分で表すこと、問18、19.を取り組んでみる。

問18.

\begin{array}{l} (\vec{a} + \vec{b}) \cdot (\vec{a} + \vec{b}) = (\vec{a} - \vec{b}) \cdot (\vec{a} - \vec{b}) \\ {| \vec{a} |}^{2} + 2 \vec{a} \cdot \vec{b} + {| \vec{b} |}^{2} = {| \vec{a} |}^{2} - 2 \vec{a} \cdot \vec{b} + {| \vec{b} |}^{2} \\ 4 \vec{a} \cdot \vec{b} = 0 \\ \vec{a} \cdot \vec{b} = 0 \\ \vec{a} ⊥ \vec{b} \end{array}

問19.

\begin{array}{l} {| \vec{a} - \vec{b} |}^{2} = 45 \\ (\vec{a} - \vec{b}) \cdot (\vec{a} - \vec{b}) = 45 \\ {| \vec{a} |}^{2} - 2 \vec{a} \cdot \vec{b} + {| \vec{b} |}^{2} = 45 \\ 25 - 2 \vec{a} \cdot \vec{b} + 4 = 45 \\ \vec{a} \cdot \vec{b} = - 8 \\ {| \vec{a} + \vec{b} |}^{2} = (\vec{a} + \vec{b}) \cdot (\vec{a} + \vec{b}) \\ = {| \vec{a} |}^{2} + 2 \vec{a} \cdot \vec{b} + {| \vec{b} |}^{2} \\ = 25 + 4 - 16 \\ = 13 \\ | \vec{a} + \vec{b} | = \sqrt{13} \\ {| \vec{a} + 2 \vec{b} |}^{2} = (\vec{a} + 2 \vec{b}) \cdot (\vec{a} + 2 \vec{b}) \\ = {| \vec{a} |}^{2} + 4 \vec{a} \cdot \vec{b} + 4 {| \vec{b} |}^{2} \\ = 25 - 32 + 16 \\ = 9 \\ | \vec{a} + 2 \vec{b} | = 3 \\ {| \vec{a} - 2 \vec{b} |}^{2} = (\vec{a} - 2 \vec{b}) \cdot (\vec{a} - 2 \vec{b}) \\ = {| \vec{a} |}^{2} - 4 \vec{a} \cdot \vec{b} + 4 {| \vec{b} |}^{2} \\ = 25 + 32 + 16 \\ = 73 \\ | \vec{a} - 2 \vec{b} | = \sqrt{73} \end{array}

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