数学 – 群 - 正規部分群と商群(積)

代数系入門

学習環境

• 数式入力ソフト(TeX, MathML): MathType
• MathML対応ブラウザ: Firefox、Safari
• MathML非対応ブラウザ(Internet Explorer, Google Chrome...)用JavaScript Library: MathJax

代数系入門 (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第2章(群)、4(正規部分群と商群)、問2.を取り組んでみる。

問2.

$\begin{array}{l}\forall x,y\in HK\\ \exists h,h\text{'}\in H,\exists k,k\text{'}\in K\\ h{\text{'}}^{-1}\in H\\ x=hk\\ xy=hkh\text{'}k\text{'}\in HK\\ hkh\text{'}\in H\\ x=hk\\ =hkh\text{'}h{\text{'}}^{-1}\\ \in HH=H=eH\subset KH\\ x\in KH\\ \\ HK=KH\\ \\ e=ee\in HK\\ \forall x,y\in HK\\ \exists h,h\text{'}\in H,\exists k,k\text{'}\in K\\ x=hk,y=h\text{'}k\text{'}\\ xy=hkh\text{'}k\text{'}\\ kh\text{'}\in KH\\ kh\text{'}\in HK\\ \exists h\text{'}\text{'}\in H,\exists k\text{'}\text{'}\in K\\ kh\text{'}=h\text{'}\text{'}k\text{'}\text{'}\\ xy=hh\text{'}\text{'}k\text{'}\text{'}k\\ hh\text{'}\text{'}\in H\\ kk\text{'}\text{'}\in K\\ xy\in HK\\ x^{-1}={\left(hk\right)}^{-1}=k^{-1}{h}^{-1}\in KH=HK\end{array}$