数学 - オイラーの公式とその応用(Euler's Formula & Its Applications - オイラーの公式(Euler's Formula) - オイラーの公式の応用 - 指数法則の利用: 加法定理の導出 - オイラーの贈物

オイラーの贈物

学習環境

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オイラーの贈物―人類の至宝eiπ=-1を学ぶ (吉田 武(著)、東海大学出版会)の第2部(オイラーの公式とその応用(Euler's Formula & Its Applications)、8章(オイラーの公式(Euler's Formula))、8.2(オイラーの公式の応用)、8.2.3(指数法則の利用: 加法定理の導出)、問題4.を解いてみる。

問題4.

$\begin{array}{l}A+iB\\ ={\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }{a}^k\left(\cos k\theta +i\sin k\theta \right)}\\ =\underset{n\to \infty }{\lim }\left({\displaystyle \sum _{k=0}^n{a}^k\left(\cos k\theta +i\sin k\theta \right)}\right)\\ =\underset{n\to \infty }{\lim }\left({\displaystyle \sum _{k=0}^n{a}^k{e}^{ik\theta }}\right)\\ =\underset{n\to \infty }{\lim }\left({\displaystyle \sum _{k=0}^n{\left(a{e}^{i\theta }\right)}^k}\right)\\ =\underset{n\to \infty }{\lim }\left(\frac{1-{\left(a{e}^{i\theta }\right)}^{n+1}}{1-a{e}^{i\theta }}\right)\\ =\frac{1}{1-a{e}^{i\theta }}\\ =\frac{1}{\left(1-a{e}^{i\theta }\right)\left(1-a{e}^{-i\theta }\right)}\\ =\frac{1-a{e}^{-i\theta }}{1-a{e}^{-i\theta }-a{e}^{i\theta }+a^2}\\ =\frac{1-a\left(\cos \left(-\theta \right)+i\sin \left(-\theta \right)\right)}{1+a^2-a\left(\cos \left(-\theta \right)+i\sin \left(-\theta \right)+\cos \theta +i\sin \theta \right)}\\ =\frac{1-a\left(\cos \theta -i\sin \theta \right)}{1+a^2-a\left(\cos \theta -i\sin \theta +\cos \theta +i\sin \theta \right)}\\ =\frac{1-a\cos \theta +ia\sin \theta }{1+a^2-2\cos \theta }\\ A=\frac{1-a\cos \theta }{1+a^2-2\cos \theta }\\ B=\frac{a\sin \theta }{1+a^2-2\cos \theta }\end{array}$