数学 - オイラーの公式とその応用(Euler's Formula & Its Applications - オイラーの公式(Euler's Formula) - オイラーの公式の応用 - オイラーの贈物

オイラーの贈物

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オイラーの贈物―人類の至宝eiπ=-1を学ぶ (吉田 武(著)、東海大学出版会)の第2部(オイラーの公式とその応用(Euler's Formula & Its Applications)、8章(オイラーの公式(Euler's Formula))、8.2(オイラーの公式の応用)、問題2.を解いてみる。

問題2.

$\begin{array}{l}{\displaystyle \sum _{k=0}^{n-1}{e}^{i\frac{2k\pi }{n}}}\\ ={\displaystyle \sum _{k=0}^{n-1}{\left(e^{i\frac{2\pi }{n}}\right)}^k}\\ =\frac{1-{\left(e^{i\frac{2\pi }{n}}\right)}^n}{1-e^{i\frac{2\pi }{n}}}\\ =\frac{1-e^{i2\pi }}{1-e^{i\frac{2\pi }{n}}}\\ =\frac{1-1}{1-e^{i\frac{2\pi }{n}}}\\ =0\end{array}$