数学 – 円の中にひそむ関数 - 三角関数 – (三角関数の諸公式(半角、2倍角)2)

数学読本〈2〉

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数学読本〈2〉簡単な関数/平面図形と式/指数関数・対数関数/三角関数 (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第8章(円の中にひそむ関数 - 三角関数)、8.2(加法定理)、三角関数の諸公式、問29.を取り組んでみる。

問29.

$\begin{array}{l}\sin \theta \\ =2\sin \frac{\theta }{2}\cos \frac{\theta }{2}\\ =\frac{2\sin \frac{\theta }{2}\cos \frac{\theta }{2}}{{\sin }^2\frac{\theta }{2}+{\cos }^2\frac{\theta }{2}}\\ =\frac{2\frac{\sin \frac{\theta }{2}\cos \frac{\theta }{2}}{{\cos }^2\frac{\theta }{2}}}{\frac{{\sin }^2\frac{\theta }{2}}{{\cos }^2\frac{\theta }{2}}+1}\\ =\frac{2\tan \frac{\theta }{2}}{1+\tan \frac{\theta }{2}}\\ \\ \cos \theta \\ ={\cos }^2\frac{\theta }{2}-{\sin }^2\frac{\theta }{2}\\ =\frac{{\cos }^2\frac{\theta }{2}-{\sin }^2\frac{\theta }{2}}{{\sin }^2\frac{\theta }{2}+{\cos }^2\frac{\theta }{2}}\\ =\frac{1-{\tan }^2\frac{\theta }{2}}{1+{\tan }^2\frac{\theta }{2}}\end{array}$