数学 – 関連しながら変化する世界 - 簡単な関数 – 分数関数・無理関数(簡単な無理方程式・無理不等式、解の個数)

数学読本〈2〉
簡単な関数/平面図形と式/指数関数・対数関数/三角関数
(岩波書店)
松坂 和夫 (著)

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数学読本〈2〉簡単な関数/平面図形と式/指数関数・対数関数/三角関数 (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第5章(関連しながら変化する世界 - 簡単な関数)、5.3(分数関数・無理関数)、簡単な無理方程式・無理不等式、問39.を解いてみる。

問39.

$\begin{array}{l}x\ge \frac{1}{2}\\ \sqrt{2x-1}=x+k\\ 2x-1=x^2+2kx+k^2\\ x^2+2\left(k-1\right)x+k^2+1=0\\ D={\left(k-1\right)}^2-\left(k^2+1\right)\\ =-2k\\ -2k<0\\ k>0のとき0個。\\ \\ k=0のとき、x=-k+1=1\ge \frac{1}{2}\\ 1個。\\ \\ -\frac{1}{2}\le k<0のとき、\\ k=-\frac{1}{2}\\ x=\frac{1}{2}\\ \sqrt{2x-1}=0,x+k=0\\ 2個。\\ \\ k<-\frac{1}{2}\\ x=\frac{1}{2}x\\ x+k<0\\ 1個。\end{array}$