数学 – 順序集合, Zorn の補題 - 順序集合(比較関係)

集合・位相入門
(岩波書店)
松坂 和夫 (著)

学習環境

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集合・位相入門(松坂 和夫(著)、岩波書店)の第3章(順序集合, Zorn の補題)、1(順序集合)、問題1.を解いてみる。

問題1.

$\begin{array}{l}\forall a\in A\\ a=a\Rightarrow a\le a\\ \\ \forall a,b\in A\\ a\le b\wedge b\le a\\ \Rightarrow \left(a=b\vee a<b\right)\wedge \left(b=a\vee b<a\right)\\ \Rightarrow \left(a=b\wedge b=a\right)\vee \left(a=b\wedge b<a\right)\vee \left(a<b\wedge b=a\right)\vee \left(a<b\wedge b<a\right)\\ \Rightarrow a=b\wedge b=a\\ \Rightarrow a=\Rightarrow a=b\\ \\ \forall a,b,c\in A\\ a\le b\wedge b\le c\\ \Rightarrow \left(a=b\vee a<b\right)\wedge \left(b=c\vee b<c\right)\\ \Rightarrow \left(a=b\wedge b=c\right)\vee \left(a=b\wedge b<c\right)\vee \left(a<b\wedge b=c\right)\vee \left(a<b\wedge b<c\right)\\ \Rightarrow \left(a=c\right)\vee \left(a<c\right)\vee \left(a<c\right)\vee \left(a<c\right)\\ \Rightarrow a\le c\end{array}$