数学 - 群論 - 群とその例(結合的な乗法)

代数系入門
(岩波書店)
松坂 和夫 (著)

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代数系入門 (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第2章(群論)、2(群とその例)、問3.を解いてみる。

問3.

$\begin{array}{l}\forall a\text{'}\in G\exists x\in G\left[a\text{'}x=a\text{'}\right]\\ \forall a\in G\exists v\in G\left[a=va\text{'}\right]\\ ax=\left(v{a}^{\prime }\right)x=v\left(a^{\prime }x\right)=va\text{'}=a\\ \\ \forall a\text{'}\text{'}\in G\exists y\in G\left[ya\text{'}\text{'}=a\text{'}\text{'}\right]\\ \forall a\in G\exists u\in G\left[a=a\text{'}\text{'}u\right]\\ ya=y\left(a\text{'}\text{'}u\right)=\left(y{a}^{″}\right)u=a\text{'}\text{'}u=a\\ \\ x=yx=y\\ x=y=e\\ ae=ea=a\\ \\ \forall a\in G\exists v,u\in G\left[av=e\wedge ua=e\right]\\ v=ev=\left(ua\right)v=u\left(av\right)=ue=u\\ v=u=a^{-1}\\ a{a}^{-1}=a^{-1}a=e\end{array}$